يتم إعطاء ثوابت ستيلتجيس بالنهاية الآتية :
γ n = lim m → ∞ { ∑ k = 1 m ( ln k ) n k − ( ln m ) n + 1 n + 1 } {\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left\{\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right\}}}
(في الحالة n = 0 {\displaystyle n=0} 0 0 {\displaystyle 0^{0}} صيغة كوشي التكاملية تؤدي إلى التمثيل التكاملي لأعداد ستيلتجيس :
γ n = ( − 1 ) n n ! 2 π ∫ 0 2 π e − n i x ζ ( e i x + 1 ) d x {\displaystyle \gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)\,dx}
تعطي أعمال كل من جنسن ، فرانيل، هيرميت ، هاردي ، رامانوجان ، اينسورث، هويل، كوبو، كونون، كوفي، تشوي، بلاغوشين وبعض الكتاب الآخرين تمثيلات مختلفة بواسطة التكامل والسلاسل الانهائية .[1] [2] [3] [4] [5]
γ n = 1 2 δ n , 0 + 1 i ∫ 0 ∞ d x e 2 π x − 1 { ( ln ( 1 − i x ) ) n 1 − i x − ( ln ( 1 + i x ) ) n 1 + i x } , n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \gamma _{n}={\frac {1}{2}}\delta _{n,0}+{\frac {1}{i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {(\ln(1-ix))^{n}}{1-ix}}-{\frac {(\ln(1+ix))^{n}}{1+ix}}\right\}\,,\qquad \quad n=0,1,2,\ldots }
بحيث يرمز δ n , k {\displaystyle \delta _{n,k}} دلتا كرونيكر .[6] [5]
γ n = − π 2 ( n + 1 ) ∫ − ∞ ∞ ( ln ( 1 2 ± i x ) ) n + 1 cosh 2 π x d x n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \gamma _{n}=-{\frac {\pi }{2(n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(\ln \left({\frac {1}{2}}\pm ix\right)\right)^{n+1}}{\cosh ^{2}\pi x}}\,dx\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad n=0,1,2,\ldots } γ 1 = − [ γ − ln 2 2 ] ln 2 + i ∫ 0 ∞ d x e π x + 1 { ln ( 1 − i x ) 1 − i x − ln ( 1 + i x ) 1 + i x } γ 1 = − γ 2 − ∫ 0 ∞ [ 1 1 − e − x − 1 x ] e − x ln x d x {\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}=-\left[\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}\right]\ln 2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{\pi x}+1}}\left\{{\frac {\ln(1-ix)}{1-ix}}-{\frac {\ln(1+ix)}{1+ix}}\right\}\\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma ^{2}-\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right]e^{-x}\ln x\,dx\end{array}}}
طالع.[7] [6] [8]
ثوابت ستيلتجيس تستوفي المتفاوتة الآتية :
| γ n | ≤ { 2 ( n − 1 ) ! π n , n = 1 , 3 , 5 , … 4 ( n − 1 ) ! π n , n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[3mm]\displaystyle {\frac {4(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}}
قدمها بيرندت عام 1972.[9] [10]
| γ n | ≤ n ! 2 n + 1 , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\frac {n!}{2^{n+1}}},\qquad n=1,2,3,\ldots }
بواسطة إسرائيلوف [11]
| γ n | ≤ n ! C ( k ) ( 2 k ) n , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\frac {n!C(k)}{(2k)^{n}}},\qquad n=1,2,3,\ldots }
مع k = 1 , 2 , . . . {\displaystyle k=1,2,...} C ( 1 ) = 1 / 2 , C ( 2 ) = 7 / 12 {\displaystyle C(1)=1/2,C(2)=7/12} [12]
: | γ n | ≤ { 2 ( 2 n ) ! n n + 1 ( 2 π ) n , n = 1 , 3 , 5 , … 4 ( 2 n ) ! n n + 1 ( 2 π ) n , n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[4mm]\displaystyle {\frac {4(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}}
![{\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}=-\left[\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}\right]\ln 2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{\pi x}+1}}\left\{{\frac {\ln(1-ix)}{1-ix}}-{\frac {\ln(1+ix)}{1+ix}}\right\}\\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma ^{2}-\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right]e^{-x}\ln x\,dx\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065775fbcee89ba94db285b8acd1146621ce9376)
![{\displaystyle |\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[3mm]\displaystyle {\frac {4(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e537a5f5fd6c447939b3813b6ca963ec8dc385f2)
.
.svg){kind=link}