от Уикипедия, свободната енциклопедия
Интегрирането е едно от двете основни действия в математическия анализ. Докато при диференцирането има лесни правила за намиране на производни на сложни функции чрез диференциране поотделно на простите компоненти на функцията, то при интегрирането не е така и се налага честото използване на вече решени и познати интеграли, които се наричат таблични интеграли . Тъждествата, поместени в тази статия, могат, без допълнителни доказателства, да се използват при решаването на задачи.
Ако една функция е интегригуема, в сила са съответните правила:
∫ a f ( x ) d x = a ∫ f ( x ) d x + C ( a ≠ 0 , const) {\displaystyle \int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx+C\qquad {\mbox{(}}a\neq 0{\mbox{, const)}}\,\!} ∫ ∑ i = 1 n a i f i ( x ) d x = ∑ i = 1 n a i ∫ f i ( x ) d x = ∑ i = 1 n a i F i ( x ) {\displaystyle \int \sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int f_{i}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}a_{i}F_{i}(x)} d d x ∫ f ( x ) d x = f ( x ) {\displaystyle {d \over dx}\int f(x)\,dx=f(x)} ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x + C {\displaystyle \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx+C} ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int {f'(x) \over f(x)}\,dx=\ln {\left|f(x)\right|}+C} ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = 1 2 [ f ( x ) ] 2 + C {\displaystyle \int {f'(x)f(x)}\,dx={1 \over 2}[f(x)]^{2}+C} ∫ [ f ( x ) ] n f ′ ( x ) d x = [ f ( x ) ] n + 1 n + 1 + C (for n ≠ − 1 ) {\displaystyle \int [f(x)]^{n}f'(x)\,dx={[f(x)]^{n+1} \over n+1}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!} Още интеграли: Таблица с интеграли на рационални функции ∫ d x = x + C {\displaystyle \int \,{\rm {d}}x=x+C} ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C if n ≠ − 1 {\displaystyle \int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1} ∫ d x x = ln | x | + C {\displaystyle \int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C} ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a arctan x a + C {\displaystyle \int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C} Още интеграли: Таблица с интеграли на ирационални функции ∫ d x a 2 − x 2 = arcsin x a + C {\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C} ∫ − d x a 2 − x 2 = arccos x a + C {\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C} ∫ d x x x 2 − a 2 = 1 a arcsec | x | a + C {\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\operatorname {arcsec} {|x| \over a}+C} Още интеграли: Таблица с интеграли на логаритмични функции ∫ ln x d x = x ln x − x + C {\displaystyle \int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C} ∫ log b x d x = x log b x − x log b e + C {\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C} Още интеграли: Таблица с интеграли на експоненциални функции ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C} ∫ a x d x = a x ln a + C {\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C} Още интеграли: Таблица с интеграли на тригонометрични функции и Списък на интеграли на обратни тригонометрични функции ∫ sin x d x = − cos x + C {\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C} ∫ cos x d x = sin x + C {\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C} ∫ tan x d x = − ln | cos x | + C {\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C} ∫ cot x d x = ln | sin x | + C {\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C} ∫ sec x d x = ln | sec x + tan x | + C {\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C} ∫ csc x d x = ln | csc x − cot x | + C {\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C} ∫ sec 2 x d x = tan x + C {\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C} ∫ csc 2 x d x = − cot x + C {\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C} ∫ sec x tan x d x = sec x + C {\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C} ∫ csc x cot x d x = − csc x + C {\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C} ∫ sin 2 x d x = 1 2 ( x − sin x cos x ) + C {\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C} ∫ cos 2 x d x = 1 2 ( x + sin x cos x ) + C {\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C} ∫ sec 3 x d x = 1 2 sec x tan x + 1 2 ln | sec x + tan x | + C {\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C} ∫ sin n x d x = − sin n − 1 x cos x n + n − 1 n ∫ sin n − 2 x d x {\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx} ∫ cos n x d x = cos n − 1 x sin x n + n − 1 n ∫ cos n − 2 x d x {\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx} ∫ arctan x d x = x arctan x − 1 2 ln | 1 + x 2 | + C {\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C} Още интеграли: Таблица с интеграли на хиперболични функции ∫ sinh x d x = cosh x + C {\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C} ∫ cosh x d x = sinh x + C {\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C} ∫ tanh x d x = ln | cosh x | + C {\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C} ∫ csch x d x = ln | tanh x 2 | + C {\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C} ∫ sech x d x = arctan ( sinh x ) + C {\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C} ∫ coth x d x = ln | sinh x | + C {\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C} ∫ sech 2 x d x = tanh x + C {\displaystyle \int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C} ∫ arcsinh x d x = x arcsinh x − x 2 + 1 + C {\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} x\,dx=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C} ∫ arccosh x d x = x arccosh x − x 2 − 1 + C {\displaystyle \int \operatorname {arccosh} x\,dx=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C} ∫ arctanh x d x = x arctanh x + 1 2 log ( 1 − x 2 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arctanh} x\,dx=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C} ∫ arccsch x d x = x arccsch x + log [ x ( 1 + 1 x 2 + 1 ) ] + C {\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\operatorname {arccsch} x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C} ∫ arcsech x d x = x arcsech x − arctan ( x x − 1 1 − x 1 + x ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\operatorname {arcsech} x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C} ∫ arccoth x d x = x arccoth x + 1 2 log ( x 2 − 1 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C} Този раздел е празен или е мъниче . Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите .