প্যারাবলোইড

যখন a = b হয় তখন, একটি অধিবৃত্তকে তার অক্ষের সাপেক্ষে ঘোরালে উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইড তৈরী হয়। নানা ধরনের অধিগোলাকার আয়না বা এন্টেনা দেখতে অনেকটা অধিগোলাকের মতো। বদ্ধ জলভূমির উপরিভাগও অধিগোলাকার, এই ধর্মকে কাজে লাগিয়ে লিকুইড মিরর টেলিস্কোপ তৈরী করা হয়। এই ধরনের প্যারাবলোইডকে অনেক সময় বৃত্তাকার প্যারাবলোইড ও বলা হয়।

প্যারাবলোইডের উপরিস্থ কোনো বিন্দু থেকে যদি একটি একক নিঃসারী বিন্দু থাকে এবং সেখান থেকে নিঃসৃত রশ্মি প্রতিফলনের পর সমান্তরাল হয় তবে সেই বিন্দু টিকে ফোকাস বলা হয়। বিপরীত ভাবে, যদি সমান্তরাল রশ্মি অধিগোলাকার প্রতিফলকে আপতিত হয় তবে সেটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে মিলিত হয় এবং সেই বিন্দুটিই হলো ফোকাস। (বিস্তারিত জানতে ইংরেজি: উইকিপিডিয়ার প্যারাবোলা নিবন্ধ দেখুন)

• 
  সমান্তরাল রশ্মি প্রতিফলিত হয়ে ফোকাস বিন্দুতে মিলিত হয়েছে, F, অথবা বিপরীতক্রম
• 
  অধিগোলাকার প্রতিফলক
• 
  কাঁচের পাত্রে ঘুর্ণায়মান জল

পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইড একটি ডাবলি রুল্ড সারফেস: এটি দুটি গোত্রের স্কিউ লাইন নিয়ে গঠিত। প্রত্যেকটি গোত্রের সরলরেখাগুলি একটি সাধারণ তলের সমান্তরাল, কিন্তু একে অপরের সাথে সমান্তরাল না, সেই কারণে পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইড একটি কোনইড।

এই ধর্মগুলি পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের সনাক্তকরণ বৈশিষ্ট্য: একটি পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইড একটি সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখা গুচ্ছ দ্বারা তৈরী হতে পারে যেখানে সব কটি সরলরেখা একটি সাধারণ তলের সমান্তরাল এবং একটি তলের সাথে দুটি নির্দিষ্ট স্কিউ লাইনকে ছেদ করে। পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের এই বিশেষ ধর্মটি একটি ঢালাই বুঝতে সাহায্য করে এবং আধুনিক স্থাপত্যয় এর ব্যবহার প্রচুর।

বহুল বিক্রিত মুখরোচক প্রিঙ্গেলস নামক আলুভাজা পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের কর্তিত অংশ।^[৪] এই বিশেষ আকারটি আলুভাজা গুলোকে চোঙাকার পাত্রে রাখতে সাহায্য করে, এবং এই আকারের ফলে ভেঙ্গে যায়ও কম।^[৫]

• 
  পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইড একটি ডাবলি রুল্ড সারফেস, এটি সাডেল আকারের ছাদ তৈরী করতে ব্যবহার হয়
• 
  ওয়ারসাজা ওকতা রেল স্টেশন,পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইড স্থাপত্যের উদাহরণ
• 
  প্রিঙ্গেলস নামক আলুভাজা, পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের উদাহরণ
• 
  পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের বর্ণনাকারী তল

কয়েকটি ভাস্কর্যের উদাহরণ

• সেন্ট মেরি ক্যাথিড্রাল, টোকিও
• ক্যাথিড্রাল অফ সেন্ট মেরি অফ দি আজ্যামসন, সানফ্রান্সিসকো, ক্যালিফোর্নিয়া
• সাডেলডোম, কানাডা
• লন্ডন ভেলোপার্ক
• ডোগরা প্রেক্ষাগৃহ, আইআইটি দিল্লি

উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের সামতলিক অংশাচ্ছেদের সমীকরণ হলো -

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$

এই সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত বিভিন্ন ক্ষেত্র:

• যদি তলটি z-অক্ষের সমান্তরাল হয় তবে এটি একটি অধিবৃত্ত।
• যদি তলটি z-অক্ষের সমান্তরাল না হয় তবে এটি একটি উপবৃত্ত বা একটি বিন্দু বা শূন্যস্থান।
• আবার যদি তলটি স্পর্শক তল হয় তবে এটি একটি বিন্দু।

অবশ্যই, অনেকগুলি বৃত্তের ঘূর্ণিনই যেকোনো একটি উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইড তৈরি করে। এই কথাটি সত্য হলেও সাধারণত ক্ষেত্রে এটি অবিশ্যিক নয়। (আরও জানতে বৃত্তাকার অংশাচ্ছেদ দেখুন)

দ্রষ্টব্যঃ একটি উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইডই প্রক্ষিপ্ত ভাবে একটি গোলকের সমতুল্য।

পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের সামতলিক অংশাচ্ছেদের সমীকরণ হলো -

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$

এই সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত বিভিন্ন ক্ষেত্র:

• যদি তলটি z-অক্ষের সমান্তরাল হয় তবে এটি একটি অধিবৃত্ত এবং ইহার সমীকরণ হবে -

${\displaystyle ux+vy+w=0,\ au\neq \pm bv}$ ,

• যদি তলটি z-অক্ষের সমান্তরাল হয় তবে এটি একটি সরলরেখা এবং ইহার সমীকরণ হবে -

${\displaystyle ux+vy+w=0,\ au=\pm bv}$ ,

• আবার যদি তলটি স্পর্শক তল হয় তবে এটি এক জোড়া পরস্পরছেদি সরলরেখা।
• কিন্তু যদি তলটি z-অক্ষের সমান্তরাল বা স্পর্শক তল কোনোটাই না হয় তবে এটি একটি পরাবৃত্ত।

দ্রষ্টব্যঃ
১. যেকোনো পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইড হলো একটি রুলড সারফেস (সরলরেখা সমন্বিত) কিন্তু পরিমার্জনশীল তল। (এই ক্ষেত্রে ইহা চোঙ বা শঙ্কুর সাথে তুলনীয়)

২. যেকোনো বিন্দুতে গাউসের বক্রতা ঋণাত্মক। তাই এটি একটি সাডেল তল।

৩. একটি একক পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের সমীকরণ হলো- ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$ ইহাকে z-অক্ষ বরাবর ৪৫° কোনে ঘূর্ণন দিলে পাওয়া যায় এবং সমীকরণ হলো- ${\displaystyle z=2xy}$

৪. কোনো একটি পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইড প্রক্ষিপ্ত ভাবে একটি হাইপারবোলয়েড সমতুল্য।

উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের পেন্সিল

${\displaystyle z=x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$

এবংপরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের পেন্সিল

${\displaystyle z=x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$

উভয়ই অবশেষে একই তলে গিয়ে পৌঁছয়, এর সমীকরণ হলো- ${\displaystyle z=x^{2}}$

ইটা কেবলমাত্র যা একটি অধিগোলাকার চোঙ (চিত্র দেখুন)

উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের প্যারামেট্রিক সমীকরণ হলো -

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$

এর গাউসীয় বক্রতা হলো

${\displaystyle K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$

এবং গড় বক্রতা

${\displaystyle H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}}$

গাউসীয় বক্রতা এবং গড় বক্রতা সর্বদা ধনাত্মক, মুলবিন্দুতে এদের সর্বোচ্চ মান আছে এবং মুলবিন্দু থেকে দূরবর্তী যেকোনো বিন্দুতে গেলে এর মান কমতে থাকে। তাত্ত্বিকভাবে বলা যায়, অসীম দূরত্বে এদের মান শূন্য।

পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের প্যারামেট্রিক সমীকরণ হলো -^[২]

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$

এর গাউসীয় বক্রতা হলো

${\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$

এবং গড় বক্রতা

${\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}$

পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের অপেক্ষকটি হলো

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$

যদি পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডটি +z বরাবর +π/৪ কোনে আবর্তিত হয় (দক্ষিণ হস্ত নিয়মানুসারে),তবে প্রাপ্ত তলের সমীকরণ হলো

${\displaystyle z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$

এবং যদি a = b হয় তবে সমীকরণটি সরলীকৃত হয়ে হবে -

${\displaystyle z={\frac {2xy}{a^{2}}}}$ .

পরিশেষে, ধরা যাক  :${\displaystyle a=2^{\frac {1}{2}}}$ , তাহলে আমরা দেখতে পাবো

${\displaystyle z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.}$

ইহা

${\displaystyle z=xy}$

তলের অনুবন্ধী তল।ইহাকেই গুণন পদ্ধতির জ্যামিতিক উপস্থাপন (ত্রিমাত্রিক নমোগ্রাফ) হিসাবে মনে করা যেতে পারে।

দুটি অধিবৃত্তীয় ℝ² → ℝ অপেক্ষক-

${\displaystyle z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}}$

এবং

${\displaystyle z_{2}(x,y)=xy}$

পরস্পর তারঙ্গিক অনুবন্ধী যুগল এবং একত্রে একটি বৈশ্লেষিক অপেক্ষক তৈরী করে।

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}$

যা f(x) = +x^২/২ অধিবৃত্তীয় অপেক্ষক ℝ → ℝ এর একটি বিশ্লেষণী ধারাবাহিকতা।

প্রতিসম অধিবৃত্তাকার প্রতিফলকের সমীকরণ হলো

${\displaystyle 4FD=R^{2},}$

যেখানে F হলো ফোকাস দৈর্ঘ্য, D হলো প্রতিফলোকের গভীরতা এবং R হলো ব্যাসার্ধ। এরা প্রত্যেকেই একই এককে পরিমাপ করা হয়। যেকোনো দুটির মান জানা থাকলে তৃতীয়টি সমীকরণ থেকে বের করে নেওয়া যায়।

প্রতিফলক তলের সাথে ব্যাস পরিমাপের পদ্ধতিটি আরও জটিল। অনেক সময় একে সরলরৈখিক ব্যাস বলা হয়, এবং এটি সমতল বৃত্তাকার তলের ব্যাসের সমান। যাকে সঠিক আকারে কেটে বেঁকিয়ে প্রতিফলক তৈরী করা হয়। এর জন্য প্রয়োজনীয় পরিমাপ হলো P = 2F ( যা P = +R^২/২D এর সমতুল্য) এবং Q = (P² + R²)${\displaystyle ^{\frac {1}{2}}}$ ,

${\displaystyle a=2^{\frac {1}{2}}}$

যেখানে F, D, and R আগের মতই অর্থ বহন করছে। ক্ষেত্রের মাপের সাথে ব্যাসের সমীকরণটি হলো :

${\displaystyle {\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right),}$

যেখানে ln x সাধারণ লগারিদম বোঝাচ্ছে। অর্থাৎ লগারিদমের বেস হলো e।

ডিক্সের আয়তন অর্থাৎ যত পরিমান তরল ডিক্সে রাখা যাবে যদি ডিক্সটিকে পাতিয়ে রাখা হয়, তা হলে :

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}R^{2}D,}$

চিহ্ন গুলির অর্থ আগেই বলা হয়েহে। সূত্রটি চোঙা (πR²D), অর্ধ গোলক (+২π/৩R²D, যেখানে D = R) শঙ্কুর (+π/৩R²D) আয়তনের সাথে তুলনীয়। πR² হলো ডিক্সের মুক্ত অংশের ক্ষেত্রফল। যা আপতিত সূর্যরশ্মির আপতন তলের সমানুপাতিক। প্যারাবলোইড তলের ক্ষেত্রফল নিম্নোক্ত সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় :
${\displaystyle A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}\right)}{6D^{2}}}.}$