ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, AF = FD । AF এবং FD উভয়ই যে আদতে FM এর সমান আমরা এখন সেটা প্রমাণ করব।

যেহেতু ∠CBD এবং ∠CAD দুটি কোণই একই বৃত্তের অন্তর্লিখিত কোণ এবং উভয়ই একই চাপের উপর অবস্থিত তাই এরা পরস্পর সমান।

∠CBD = ∠CAD - - - - - (i)

যেহেতু BCM সমকোণী ত্রিভুজে কোণ ∠BMC এক সমকোণ সুতরাং

∠CBD + ∠BCM = ১ সমকোণ - - - - - (ii)

একইভাবে MEC ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও কোণ ∠MEC এক সমকোণ। সুতরাং

∠CME + ∠BCM = ১ সমকোণ - - - - - (iii)

অতএব (ii) এবং (iii) নং থেকে পাই—

∠CBD + ∠BCM = ∠CME + ∠BCM = ১ সমকোণ

বা, ∠CBD = ∠CME - - - - - (iv)

আবার ∠CME ও ∠AMF পরস্পরের বিপ্রতীপ কোণ হওয়ায় এরা পরস্পরের সমান।

∠CME = ∠AMF - - - - - (v)

সুতরাং (i), (iv) এবং (v) নং সমীকরণ থেকে পাই—

∠CBD = ∠CAD = ∠CME = ∠AMF

বা, ∠CAD = ∠AMF

বা, ∠MAF = ∠AMF

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, AFM ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু। ফলে AF ও FM বাহু দুটি পরস্পর সমান।

AF = FM

একইভাবে দেখানো যায় যে, ∠FDM, ∠BCM, ∠BME এবং ∠DMF কোণ চারটি পরস্পর সমান। ফলে DFM ত্রিভুজটিও সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। যার দরুন FD ও FM বাহু দুটি পরস্পরের সমান।

FD = FM

সুতরাং আমরা পাচ্ছি—

AF = FD = FM

যা ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্যে বলা হয়েছে।

• Brahmagupta's Theorem at cut-the-knot
• এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Brahmagupta's theorem"।
• Amelia Rector's YouTube video