Conjectura abc
En teoria de nombres, la conjectura abc, també anomenada conjectura d'Oesterlé–Masser, relaciona els factors primers de dos nombres enters a, b amb els de la seva suma, c. La conjectura va sorgir d'una conversa entre Joseph Oesterlé i David Masser el 1985.[1]
La conjectura estipula que el producte dels diferents factors primers de abc no acostuma a ser gaire menor que c. Altres conjectures i teoremes van sorgir poc després a partir d'aquesta hipòtesi, fins al punt que el matemàtic Dorian Goldfield la va descriure com el problema no resolt més important dins del camp de l'anàlisi d'equacions diofàntiques.[2] La conjectura també està relacionada amb altres problemes de teoria de nombres; per exemple, demostrar que és certa proporcionaria una nova demostració de l'últim teorema de Fermat.[3]
La conjectura abc es va originar com el resultat dels intents d'Oesterlé i Masser per entendre la conjectura de Szpiro sobre les corbes el·líptiques, que involucra més estructures geomètriques en el seu enunciat.[1][4] Hi ha hagut diversos intents de demostrar la conjectura abc, però cap ha tingut una àmplia acceptació. Shinichi Mochizuki va afirmar tenir una prova l'any 2012,[5] però la conjectura encara es considera sense provar per la comunitat matemàtica.[6][7]
Enunciat
Definim l'equació a + b = c, on a, b, c són nombres coprimers. Es defineix el radical d'un enter com el producte dels seus factors primers diferents,
Llavors, «habitualment» es compleix que c < r(abc). La conjectura abc tracta les excepcions a aquest fenomen.
Específicament, postula que per tot nombre real ε més gran que 0, existeix només un nombre finit de triplets (a, b, c) tals que c > r(abc)1+ε.[8]
Una formulació equivalent és que per tot valor ε existeix una constant κ(ε), amb la qual per tots els triplets es compleix que c < κ(ε) · r(abc)1+ε, per valors ε > 0 i κ(ϵ) > 0.[a]
Una forma més feble de la conjectura afirma que (|a|·|b|·|c|)1/3 < κ(ε) · r(abc)1+ε.
També existeix una variant de la conjectura introduïda per Alan Baker el 1998, estretament relacionada amb el mètode de formes linears en logaritmes. Definint N com el radical de abc, i ω com el nombre de factors primers diferents de abc, es postula que existeix una constant absoluta C tal que c < C(ε-ω N)1+ε.[9]