Demostració que e és irracional

En matemàtica, el desenvolupament en sèrie del nombre e

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$

pot ser utilitzat per a provar que e és un nombre irracional.^[1]

Suposem per a l'absurd que sigui e = a/b, per a uns enters positius a i b.Considerem el nombre

${\displaystyle x:=b\,!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=b\,!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right).}$

Mostrem que la suposició per a l'absurd implica simultàniament que ${\displaystyle 0<x<1}$ i que ${\displaystyle x}$ és un nombre enter.Això és impossible, i aquesta contradiccióestableix la irracionalitat de "e".

• Per a veure que x és un nombre enter, notem que

${\displaystyle x\,}$

${\displaystyle =b\,!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=a(b-1)!-b\,!\cdot \sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}}$

Ara, per a tot n tal que ${\displaystyle 0\leq n\leq b}$, hom veu que ${\displaystyle b\,!}$ és divisible per a ${\displaystyle n\,!}$, ja que

${\displaystyle b\,!\cdot \sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}}$ és un nombre enter positiu. Com a conseqüència, puix que ${\displaystyle a\cdot (b-1)!\in {\mathbb {N} }}$ també, ${\displaystyle x\in {\mathbb {Z} }}$, és a dir, x és un nombre enter.

• Per a veure que x és un nombre positiu inferior a 1, notem que ${\displaystyle x=b\,!\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\quad }$ car

${\displaystyle x={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots }$

${\displaystyle <{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{b}}\leq 1}$

Aquí, la darrera suma és una sèrie geomètrica. Puix que no existeixen nombres enters positius més petits que 1, hem obtingut una contradicció. Això acaba la demostració.

Quod erat demonstrandum