Distribució de Gumbel de tipus II

En teoria de la probabilitat i estadística, la distribució de Gumbel de tipus II és aquella distribució de probabilitat que té, com a funció de densitat de probabilitat:^[1]

Type-2 Gumbel

Paràmetres	${\displaystyle a\!}$ (real) ${\displaystyle b\!}$ forma (real)
fdp	${\displaystyle abx^{-a-1}e^{-bx^{-a}}\!}$
FD	${\displaystyle e^{-bx^{-a}}\!}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle b^{1/a}\Gamma (1-1/a)\!}$
Variància	${\displaystyle b^{2/a}(\Gamma (1-1/a)-{\Gamma (1-1/a)}^{2})\!}$

${\displaystyle f(x|a,b)=abx^{-a-1}e^{-bx^{-a}}\,}$

per:

${\displaystyle 0<x<\infty }$.

Això implica que és similar a la distribució de Weibull, substituint ${\displaystyle b=\lambda ^{-k}}$ i ${\displaystyle a=-k}$. Noti's, tanmateix, que un valor positiu de k (com és el cas en la distribució de Weibull) faria que a fos negatiu, cosa que no està permesa en aquesta distribució, ja que es tindria una densitat de probabilitat negativa.

Per ${\displaystyle 0<a\leq 1}$ la mitjana és infinita. Per ${\displaystyle 0<a\leq 2}$ la variància és infinita.

La seva funció de distribució acumulada és:

${\displaystyle F(x|a,b)=e^{-bx^{-a}}\,}$

Els moments ${\displaystyle E[X^{k}]\,}$ existeixen per ${\displaystyle k<a\,}$

El cas particular en què b = 1 correspon a la distribució de Fréchet.

La distribució rep el nom del matemàtic alemany Emil Julius Gumbel (1891 – 1966).