Distribució geomètrica estable

Per a la majoria de distribucions geomètriques estables, la funció de densitat de probabilitat i la funció de distribució acumulada no tenen forma tancada. Tanmateix, una distribució geomètrica estable es pot definir per la seva funció característica, que té la forma: ^[7]

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }\omega -i\mu t]^{-1}}$

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)\,\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log |t|\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$

El paràmetre ${\displaystyle \alpha }$ , que ha de ser superior a 0 i inferior o igual a 2, és el paràmetre de forma o índex d'estabilitat, que determina el pes de les cues.^[8] Més baix ${\displaystyle \alpha }$ correspon a cues més pesades.

El paràmetre ${\displaystyle \beta }$ , que ha de ser més gran o igual que −1 i menor o igual que 1, és el paràmetre d'asimetria.^[9] Quan ${\displaystyle \beta }$ és negativa la distribució està esbiaixada cap a l'esquerra i quan ${\displaystyle \beta }$ és positiu la distribució està esbiaixada cap a la dreta. Quan ${\displaystyle \beta }$ és zero, la distribució és simètrica i la funció característica es redueix a: ^[9]

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}}$