Funció d'ona

La funció d'ona ${\displaystyle \psi (x,y,z,t)}$ representa l'amplitud de la probabilitat de trobar una partícula en un punt concret de l'espai ${\displaystyle (x,y,z)}$ , en un instant determinat ${\displaystyle t}$ . La probabilitat real de trobar la partícula és expressada pel producte de la funció d'ona amb el seu conjugat complex ${\displaystyle \psi ^{*}}$ (com el quadrat de l'amplitud d'una funció complexa): ${\displaystyle P(x,y,z)=\psi \cdot \psi ^{*}dx\,dy\,dz}$ , on ${\displaystyle \psi \cdot \psi ^{*}=|\psi (x,y,z)|^{2}}$ és la probabilitat per unitat de volum o la densitat de probabilitat, de trobar la partícula en el punt ${\displaystyle (x,y,z)}$ .^[3][4] Aquesta interpretació de la funció d'ona fou realitzada pel físic alemany Max Born (1882-1970) el juliol de 1926.^[5]

El fet de no disposar de valors exactes de la posició de les partícules i només poder conèixer la probabilitat de trobar-se en un lloc és degut al principi d'incertesa de Heisenberg. Aquest principi estableix l'existència d'una indeterminació dels valors de la posició i la quantitat de moviment, de manera que com més precís és un, menys ho és l'altre. Aquest principi fou descobert el 1927 de forma teòrica pel físic alemany Werner Heisenberg (1901-1976).^[6][3]

La funció d'ona ha de ser una funció contínua i normalitzable. Ja que la probabilitat de trobar la partícula en algun lloc ha de ser igual a 1 (si hom mira tot l'espai, en algun lloc hi ha la partícula), la funció d'ona ha d'estar normalitzada. Això vol dir que la suma de les probabilitats per a tot l'espai ha de ser igual a u. Aquest concepte es representa mitjançant una integral, anomenada condició de normalització:^[3][4]

$${\displaystyle \iiint \psi \cdot \psi ^{*}dx\,dy\,dz=1}$$

L'equació de Schrödinger fou obtinguda el 1926 pel físic austríac Erwin Schrödinger (1887-1961),^[7] després d'haver-se proposada la dualitat ona-corpuscle pel físic francès Louis-Victor de Broglie (1892-1987) en la seva tesi doctoral del 1924 en la que predeia que les partícules també tenien un comportament ondulatori i tenien una ona associada.^[8]

L'equació de Schrödinger és l'equació que ha de complir l'expressió matemàtica de l'ona d'una partícula quan es troba dins d'un camp elèctric. Proporciona una equació determinista per a explicar l'evolució temporal de la funció d'ona i, per tant, de l'estat físic del sistema en l'interval comprès entre dues mesures. Té el mateix paper que les lleis de Newton i la conservació de l'energia a la mecànica clàssica; és a dir, prediu el comportament futur d'un sistema dinàmic. Per a un sistema quàntic general l'equació de Schrödinger s'escriu com:^[3]

$${\displaystyle i\hbar {\partial \psi (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t}={\hat {H}}\psi (\mathbf {r} ,\,t)}$$

• ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\,t)}$ és la funció d'ona, que determina l'amplitud de probabilitat per a diferents espais de configuració del sistema, depèn del vector posició ${\displaystyle {\mathbf {r}}}$ i del temps ${\displaystyle t}$ ,
• ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ ,
• ${\displaystyle \hbar }$ és la constant de Planck reduïda (${\textstyle \hbar =h/2\pi }$ ), que pot ser igualada a la unitat quan s'utilitzen unitats naturals,
• ${\displaystyle {\hat {H}}}$ és l'operador lineal hamiltonià del sistema que, aplicat a la funció d'ona, proporciona l'energia del sistema (el primer terme proporciona l'energia cinètica i el segon l'energia potencial elèctrica):^[9]

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\biggl (}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}{\biggr )}+V(x,y,z)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(x,y,z)}$$

on:

• ${\displaystyle m}$ és la massa de la partícula,
• ${\displaystyle V(x,y,z)}$ és l'energia potencial elèctrica de la partícula estudiada dins d'un camp elèctric,
• ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ és l'operador laplacià.^[9]

L'equació de Schrödinger dependent del temps descrita anteriorment prediu que les funcions d'ona poden formar ones estacionàries, anomenades estats estacionaris (també anomenats orbitals com els orbitals atòmics o moleculars). L'equació de Schrödinger independent del temps és l'equació que descriu els estats estacionaris, però també continua depenent del temps.^[3]

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$$

En mecànica quàntica un observable és qualsevol magnitud física d’un sistema quàntic que pot ser mesurada.^[10] Són observables la posició, el moment lineal, l'energia cinètica, l'energia total (cinètica més potencial), el moment angular, etc. Per obtenir els valors d'aquests observables s'ha d'efectuar una operació matemàtica sobre la funció d'ona, que conté tota la informació d'aquest sistema. Aquestes operacions matemàtiques, específiques per a cada observable, s'anomenen operadors.^[11]

Si en aplicar un operador ${\displaystyle {\hat {A}}}$ a la funció d'ona ${\displaystyle \psi }$ s'obté un escalar ${\displaystyle a}$ multiplicat per la mateixa funció d'ona, això és ${\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi }$ , aquest ${\displaystyle a}$ és anomenat valor propi i la funció és una funció pròpia. El valor ${\displaystyle a}$ és el valor que s'aconseguirà, amb tota probabilitat, en mesurar l'observable ${\displaystyle A}$ d'un sistema quàntic quan el sistema està en un estat propi de l'observable. Són particularment rellevants els estats propis de l'energia, és a dir, de l'observable hamiltonià ${\displaystyle {\hat {H}}}$ , anomenats estats estacionaris perquè no evolucionen físicament en el temps.^[4]

Operadors més important de la mecànica quàntica^[4]

Observable	Símbol de la física clàssica	Operador de la mecànica quàntica	Operació matemàtica
Vector posició	${\displaystyle {\mathbf {r}}}$ o ${\displaystyle {\vec {r}}}$	${\displaystyle {\mathbf {\widehat {r}}}}$	Multiplicar per ${\displaystyle {\mathbf {r}}}$
Moment lineal o quantitat de moviment	${\displaystyle p_{x}}$	${\displaystyle {\widehat {p}}_{x}}$	${\displaystyle -i\hbar {\partial \over \partial x}}$
	${\displaystyle p_{y}}$	${\displaystyle {\widehat {p}}_{y}}$	${\displaystyle -i\hbar {\partial \over \partial y}}$
	${\displaystyle p_{z}}$	${\displaystyle {\widehat {p}}_{z}}$	${\displaystyle -i\hbar {\partial \over \partial z}}$
Energia cinètica	${\displaystyle T}$	${\displaystyle {\hat {T}}}$	${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\biggl (}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}{\biggr )}}$
Energia potencial	${\displaystyle V({\mathbf {r}})}$	${\displaystyle {\hat {V}}({\mathbf {r}})}$	Multiplicar per ${\displaystyle {\hat {V}}({\mathbf {r}})}$
Energia total	${\displaystyle E}$	${\displaystyle {\hat {H}}}$	${\displaystyle {\hat {T}}+{\hat {V}}}$
Moment angular	${\displaystyle l_{x}}$	${\displaystyle {\widehat {l}}_{x}}$	${\displaystyle -i\hbar {\biggl (}y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}{\biggr )}}$
	${\displaystyle l_{y}}$	${\displaystyle {\widehat {l}}_{y}}$	${\displaystyle -i\hbar {\biggl (}z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}{\biggr )}}$
	${\displaystyle l_{z}}$	${\displaystyle {\widehat {l}}_{z}}$	${\displaystyle -i\hbar {\biggl (}x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}{\biggr )}}$

Càlcul del radi de l'electró a l'orbital 1s

Un exemple d'aplicació dels operadors és el càlcul del radi de l'electró a l'orbital atòmic 1s de l'àtom d'hidrogen (${\displaystyle Z=1}$ ). La funció d'ona de l'orbital 1s, en coordenades polars, és:

$${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{a_{0}^{3/2}}}e^{-r/a_{0}}}$$

${\displaystyle a_{0}}$

$${\displaystyle {\hat {r}}\psi (r,\theta ,\phi )=r{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{a_{0}^{3/2}}}e^{-r/a_{0}}}$$

${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\hat {A}}\psi \neq a\psi }$

${\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi }$

${\displaystyle \left\langle r\right\rangle }$

${\displaystyle \psi ^{*}=\psi }$

$${\displaystyle \left\langle r\right\rangle =\int \limits _{espai}\psi ^{*}{\hat {r}}\psi dV=\int \limits _{espai}\psi ^{*}r\psi dV}$$

$${\displaystyle \left\langle r\right\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {e^{-r/a_{0}}}{\sqrt {\pi a_{0}^{3}}}}\,r\,{\frac {e^{-r/a_{0}}}{\sqrt {\pi a_{0}^{3}}}}\,r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi }$$

$${\displaystyle \left\langle r\right\rangle ={\frac {1}{\pi a_{0}^{3}}}\int \limits _{0}^{2\pi }d\phi \int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta \int \limits _{0}^{\infty }e^{-2r/a_{0}}\,r^{3}dr={\frac {4}{a_{0}^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-2r/a_{0}}\,r^{3}dr={\frac {3}{2}}a_{0}}$$

${\displaystyle r}$

${\displaystyle r={\tfrac {3}{2}}a_{0}}$

${\textstyle r=a_{0}}$

Energia potencial de l'electró en un àtom

En el cas d'un àtom d'hidrogen l'electró està sotmès al potencial elèctric del nucli constituït per un protó, ambdós de càrrega elèctrica elemental ${\displaystyle \mathrm {e} }$ , de manera que l'operador energia potencial elèctrica és:^[4]

$${\displaystyle {\hat {V}}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathrm {e} ^{2}}{r}}}$$

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

Aplicant aquest operador a la funció d'ona de l'orbital 1s resulta que s'ha de multiplicar per la funció d'ona el seu valor i resulten els valors de l'energia potencial elèctrica de l'electró a l'orbital 1s, que depenen del radi (primer parèntesi):^[4]

$${\displaystyle {\hat {V}}\psi _{1s}={\biggl (}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathrm {e} ^{2}}{r}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{a_{0}^{3/2}}}e^{-r/a_{0}}{\biggr )}}$$