Homotopia

Dues aplicacions contínues ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ es diuen homotòpiques si hi ha una altra aplicació (contínua també) ${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$ tal que:

${\displaystyle H(x,0)=f(x)\,}$

${\displaystyle H(x,1)=g(x)\,}$

Un exemple important és considerar les diferents classes (homotòpiques) de mapatges del cercle a un espai ${\displaystyle X}$

${\displaystyle S^{1}\to X\,}$

l'estructura resultant és l'importantíssim grup fonamental.

Es diu que dos espais X , Y són del mateix tipus homotòpic , si hi ha un parell d'aplicacions ${\displaystyle X{\stackrel {f}{\to }}Y}$ i ${\displaystyle Y{\stackrel {g}{\to }}X}$ tals que ${\displaystyle g\circ f}$ i ${\displaystyle f\circ g}$ són homotòpiques de ${\displaystyle Id_{X}}$ i ${\displaystyle Id_{Y}}$ respectivament.

Sol ser utilitzat el símbol: ${\displaystyle f\simeq g}$ , per indicar que els objectes f i g són homotòpics .

Com a exemples, una 1-esfera i un tor sòlid tenen el mateix tipus homotòpic. La superfície del toro amb un "disc remogut" té el mateix tipus homotòpic que un producte cartesià de dues 1-esferes (bouquet de dos cercles).