on D representa l'operador diferencial. S'ha de resoldre, doncs, l'equació per , on i són conegudes.
Suposant que es tenen dues solucions linealment independents per l'equació diferencial donada, u1 i u₂. Sigui W el Wronskià d'aquestes dues funcions, i W sigui diferent de zero (les solucions són linealment independents).
Es busca la solució general a l'equació diferencial que serà de la forma
Aquí, i són desconegudes, i i són les solucions de l'equació homogènia. Es pot observar que si i són constants, llavors . És desitjable que A=A(x) i B=B(x) siguin de la forma
Ara,
i com que es requereix la condició de sobre, llavors es té que
Derivant un altre cop (i ometent passos intermedis)
Ara es pot escriure l'acció de L sobre uG com a
Com que u1 i u₂ són solucions, llavors
Es té el sistema d'equacions
Desenvolupant,
Per tant, el sistema de sobre determina les condicions
Es troben A(x) i B(x) d'aquestes condicions, per tant, donades
es pot resoldre per (A′(x), B′(x))T, i per tant
Finalment,
Mentre les equacions homogènies són relativament fàcils de resoldre, aquest mètode permet el càlcul dels coeficients de la solució general de l'equació particular, i per tant es pot determinar la solució general completa.
Cal tenir en compte que i es determinen per només una constant arbitràries addicional (la constant d'integració); es podrien esperar dues constants d'integració perquè l'equació original era de segon ordre. Afegir una constant a o a no canvia el valor de perquè és lineal.
Exemple d'ús
Donada l'equació diferencial
Es vol trobar la solució general de l'equació, això és, trobar solucions a l'equació diferencial homogènia
Traiem l'equació característica
Com que hi ha una arrel repetida, s'ha d'introduir un factor de x a una solució per assegurar que siguin linealment independents.
S'obtenen, doncs, u1=e-2x, i u₂=xe-2x. El Wronskià d'aquestes dues funcions és
Es busquen les funcions A(x) i B(x) tal que A(x)u1+B(x)u₂ sigui una solució general de l'equació particular. Només queda calcular les integrals