Násobek

Nechť čísla ${\displaystyle a,b\in N}$ ; číslo ${\displaystyle a}$ je násobkem čísla ${\displaystyle b}$ , jestliže existuje takové přirozené číslo ${\displaystyle k}$ , že platí: ${\displaystyle a=b\cdot k}$ . Neexistuje-li takové číslo ${\displaystyle k}$ , pak číslo ${\displaystyle a}$ není násobkem čísla ${\displaystyle b}$ .

Definici lze použít i pro ${\displaystyle a,b\in Z}$ , pak platí:

• číslo ${\displaystyle 0}$ je násobkem každého celého čísla,
• je-li číslo ${\displaystyle a}$ násobkem čísla ${\displaystyle b}$ , je také násobkem čísla ${\displaystyle -b}$ a také číslo ${\displaystyle -a}$ je násobkem čísla čísla ${\displaystyle b}$ .^[1]

Nenulové přirozené číslo ${\displaystyle D}$ se nazývá společným násobkem nenulových celých čísel ${\displaystyle a,b}$ , když platí ${\displaystyle a\mid D\land b\mid D}$ , tj. ${\displaystyle D}$ je dělitelné oběma čísly. Nejmenší ze všech jejich společných násobků se nazývá nejmenší společný násobek.^[1]

Příklad: Jsou-li společní dělitele čísel ${\displaystyle a=420,b=36}$ jsou ${\displaystyle 1,2,3,4,6,12}$ . Čísla ve tvaru ${\displaystyle 1260\cdot n}$ , kde ${\displaystyle n\in N}$ , jsou všechny společné násobky čísel ${\displaystyle a,b.}$

Obecné vyjádření společného násobku dvou přirozených čísel

Číslo ${\displaystyle D}$ je libovolný společný násobek čísel ${\displaystyle a,b\in N}$ . Použitím Eukleidova algoritmu lze zapsat ${\displaystyle D=a\cdot q}$ , kde ${\displaystyle q\in N}$ . Čísla ${\displaystyle a,b}$ lze vyjádřit ve tvaru ${\textstyle a=a_{1}\cdot NSD(a,b);b=b_{1}\cdot NSD(a,b);}$ kde ${\displaystyle NSD(a_{1},b_{1})=1}$ , tedy čísla ${\displaystyle a_{1},b_{1}}$ jsou nesoudělná. Číslo ${\displaystyle {\frac {D}{NSD(a,b)}}=a_{1}\cdot q}$ přirozené a navíc ${\displaystyle q}$ je dělitelné (beze zbytku) ${\displaystyle b_{1}}$ . Pro ${\displaystyle n\in N}$ lze napsat ${\displaystyle {\frac {a_{1}q}{b_{1}}}=a_{1}n}$ a tedy ${\displaystyle a_{1}q=a_{1}b_{1}n}$ . Provedením úprav lze získat vztah ${\displaystyle D={\frac {ab}{NSD(a,b)}}\cdot n}$ ^[2]

Společný násobek více čísel

Společným násobkem nenulových celých čísel ${\displaystyle a_{1},...a_{n}}$ , kde ${\displaystyle n\geq 2}$ , je nenulové číslo ${\displaystyle D\in N}$ , které je dělitelné každým z čísel ${\displaystyle a_{1},...a_{n}}$ , tj. ${\displaystyle \forall i\in \{1,...n\}}$ ${\displaystyle a_{i}\mid D}$ .

Příklady

Příklad1: Číslo ${\displaystyle 10}$ lze získat jako součin čísel: ${\displaystyle 2\cdot 5=10}$

O číslech v této rovnosti platí: číslo ${\displaystyle 10}$ je násobek čísla ${\displaystyle 2}$ , bylo získáno násobením čísla ${\displaystyle 2}$ a zároveň lze říci, že číslo ${\displaystyle 10}$ je násobek čísla ${\displaystyle 5}$ , je výsledkem násobení čísla ${\displaystyle 5}$ .^[3]

Příklad2: Které věty jsou pravdivé?

• Číslo 54 je násobek 8 – ne, věta není pravdivá, protože ${\displaystyle 54:8=6;(zbytek=6)}$
• Číslo 36 je násobek 12 – ano, pravdivé tvrzení, protože ${\displaystyle 36}$ je trojnásobek čísla ${\displaystyle 12}$

Příklad3: Určení násobku

• jedenáctinásobek čísla ${\displaystyle 6}$ : ${\displaystyle 11\cdot 6=66}$
• čtyřnásobek čísla ${\displaystyle z}$ : ${\displaystyle 4\cdot z=4z}$

• Nejmenší společný násobek
• Dělitelnost
• Násobení
• Eukleidův algoritmus

• Obrázky, zvuky či videa k tématu násobek na Wikimedia Commons

• Slovníkové heslo násobek ve Wikislovníku