Beschreibung Anmerkung Die Näherung von a 2 {\displaystyle {\frac {a}{2}}} beruht auf den Wert
K L ¯ = a 2 = 1 − 2 ( 2 − 2 ) ( 2 − 2 + 1 2 + 2 ) − 11 + 11 2 + 5 1 + 2 2 ≈ r ⋅ 0,886 226 932 777 110 [ L E ] {\displaystyle {\overline {KL}}={\frac {a}{2}}=1-{\frac {{\sqrt {2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)\left(2-{\sqrt {2}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\sqrt {2}}}}\right)}{-11+11{\sqrt {2}}+5{\sqrt {1+2{\sqrt {2}}}}}}\approx r\cdot \ 0{,}886\;226\;932\;777\;110\;[\mathrm {LE} ]} Die Verwendung der Quadratwurzel aus 2 = | F J | {\displaystyle |FJ|} liefert eine Näherung von π , {\displaystyle \pi ,} die bereits im Jahr 1913 in der Konstruktion von Jakob de Gelder mit dem Zu Chongzhi-Bruch 355 113 {\displaystyle {\frac {355}{113}}} nahezu erreicht wurde.
Ergebnis der folgenden Konstruktion 3,141 592 705 … {\displaystyle 3{,}141\;592\;{\color {red}\;705\;\ldots }} Ergebnis mit Zu Chongzhi-Bruch 355 113 {\displaystyle {\frac {355}{113}}} 3.141 592 920 … {\displaystyle 3.141\;592\;{\color {red}\;920\;\ldots }} 3,141 592 653 … {\displaystyle 3{,}141\;592\;653\ldots } Konstruktion Quadratur des Kreises, Näherungskonstruktion mithilfe 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} als Animation, in 13 Schritten bis a / 2, zweimal 10 sec Pause Quadratur des Kreises, Näherungskonstruktion mithilfe 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} Ziehe einen Kreis mit beliebigem Radius r {\displaystyle r} um seinen Mittelpunkt M . {\displaystyle M.} Zeichne das Quadrat M B C A {\displaystyle MBCA} mit r {\displaystyle r} als Seitenlänge und verlängere die Strecke C B ¯ {\displaystyle {\overline {CB}}} über B {\displaystyle B} hinaus. Ziehe die Diagonale M C ¯ , {\displaystyle {\overline {MC}},} ergibt Schnittpunkt D . {\displaystyle D.} Zeichne eine Parallele zu B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} durch D {\displaystyle D} bis A C ¯ , {\displaystyle {\overline {AC}},} ergibt Schnittpunkt E . {\displaystyle E.} Ziehe einen Halbkreis um D {\displaystyle D} ab E {\displaystyle E} im Uhrzeigersinn, ergibt Schnittpunkt F . {\displaystyle F.} Halbiere die Strecke D E ¯ {\displaystyle {\overline {DE}}} in G . {\displaystyle G.} Verbinde G {\displaystyle G} mit C , {\displaystyle C,} ergibt Schnittpunkt H . {\displaystyle H.} Bestimme den Punkt J {\displaystyle J} so, dass | F J | = M C ¯ = 2 ⋅ r . {\displaystyle |FJ|={\overline {MC}}={\sqrt {2}}\cdot r.} Verbinde J {\displaystyle J} mit H {\displaystyle H} ergibt Schnittpunkt K . {\displaystyle K.} Zeichne eine Parallele zu B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} ab K {\displaystyle K} bis Strecke M B ¯ , {\displaystyle {\overline {MB}},} ergibt Schnittpunkt L . {\displaystyle L.} Wird die Strecke K L ¯ {\displaystyle {\overline {KL}}} verdoppelt, ergibt dies die Seitenlänge a {\displaystyle a} eines Quadrates mit einem Flächeninhalt, der nahezu gleich dem des Kreises ist.
Fehler Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:
Konstruierte Seite des Quadrates a = 1,772453865554221... [LE] Soll-Seite des Quadrates a s = π ⋅ 1 [ L E ] {\displaystyle {\sqrt {\pi }}\cdot 1[LE]} = 1,772453850905516... [LE] Absoluter Fehler = a - a s = 0,000000014648705... = 1,4648...E-8 [LE] Fläche des konstruierten Quadrates A = a 2 = 3,141592705518100... [FE] Soll-Fläche des Quadrates A s = π ⋅ 1 [ F E ] {\displaystyle {\pi }\cdot 1[FE]} = 3,141592653589793... [FE] Absoluter Fehler = A - A s = 0,000000051928307... = 5,1928...E-8 [FE] Fazit: Sieben Nachkommastellen sind gleich denen von π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} bzw. sechs Nachkommastellen sind gleich denen von π {\displaystyle \pi } .Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler der Seite a ≈ 1,5 mm Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche A ≈ 5,2 mm2 Annotation The approximation of a 2 {\displaystyle {\frac {a}{2}}} is based on value
K L ¯ = a 2 = 1 − 2 ( 2 − 2 ) ( 2 − 2 + 1 2 + 2 ) − 11 + 11 2 + 5 1 + 2 2 ≈ r ⋅ 0.886 226 932 777 110 [ u l ] {\displaystyle {\overline {KL}}={\frac {a}{2}}=1-{\frac {{\sqrt {2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)\left(2-{\sqrt {2}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\sqrt {2}}}}\right)}{-11+11{\sqrt {2}}+5{\sqrt {1+2{\sqrt {2}}}}}}\approx r\cdot \ 0.886\;226\;932\;777\;110\;[\mathrm {ul} ]} The use of the square root of 2 = | F J | {\displaystyle |FJ|} provides an approximation of π , {\displaystyle \pi ,} which was almost achieved in 1913 in the construction by Jakob de Gelder with the Zu Chongzhi fraction 355 113 . {\displaystyle {\frac {355}{113}}.}
Result of the following construction 3.141 592 705 … {\displaystyle 3.141\;592\;{\color {red}\;705\;\ldots }} Result with Zu Chongzhi fraction 355 113 {\displaystyle {\frac {355}{113}}} 3.141 592 920 … {\displaystyle 3.141\;592\;{\color {red}\;920\;\ldots }} 3.141 592 653 … {\displaystyle 3.141\;592\;653\ldots } Construction Squaring the circle, approximate construction with help 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} as animation, in 13 steps till a/2, twice 10 second pause Squaring the circle, approximate construction with help 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} Draw a circle with any radius r {\displaystyle r} around its center M . {\displaystyle M.} Draw the square M B C A {\displaystyle MBCA} with r {\displaystyle r} as the side length and extend the line segment C B ¯ {\displaystyle {\overline {CB}}} beyond B . {\displaystyle B.} Draw the diagonal M C ¯ , {\displaystyle {\overline {MC}},} results in intersection point D . {\displaystyle D.} Draw a parallel to B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} through D {\displaystyle D} to A C ¯ , {\displaystyle {\overline {AC}},} results in intersection E . {\displaystyle E.} Draw a semicircle around D {\displaystyle D} clockwise, results in intersection point F . {\displaystyle F.} Halve the line segment D E ¯ {\displaystyle {\overline {DE}}} in G . {\displaystyle G.} Connect G {\displaystyle G} to C , {\displaystyle C,} results in intersection H . {\displaystyle H.} Find the point J {\displaystyle J} such that | F J | = M C ¯ = 2 ⋅ r . {\displaystyle |FJ|={\overline {MC}}={\sqrt {2}}\cdot r.} Connect J {\displaystyle J} to H , {\displaystyle H,} results in intersection point K . {\displaystyle K.} Draw a parallel to B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} from K {\displaystyle K} to line segment M B ¯ , {\displaystyle {\overline {MB}},} results in intersection L . {\displaystyle L.} If the line segment K L ¯ {\displaystyle {\overline {KL}}} is doubled, this results in the side length a {\displaystyle a} of a square with an area that is almost equal to that of the circle.
Error In a circle of radius r = 1 [unit length, ul]:
Constructed side of the square a = 1.772453865554221... [ u l {\displaystyle ul} ] Target side of the square a s = π ⋅ 1 [ u l ] {\displaystyle {\sqrt {\pi }}\cdot 1[ul]} = 1.772453850905516... [ u l {\displaystyle ul} ] Absolute error = a - a s = 0.000000014648705... = 1.4648...E-8 [ u l {\displaystyle ul} ] Surface of the constructed square A = a 2 = 3.141592705518100... [unit area, ua] Target area of the square A s = π ⋅ 1 [ u a ] {\displaystyle {\pi }\cdot 1[ua]} = 3.141592653589793... [ u a {\displaystyle ua} ] Absolute error = A - A s = 0.000000051928307... = 5.1928...E-8 [ u a {\displaystyle ua} ] Conclusion: seven decimal places are equal to those of π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} respectively six decimal places are equal to those of π {\displaystyle \pi } .In a circle of radius r = 100 km would be the fault of the page a ≈ 1.5 mm In the case of a circle with the radius r = 10 m would be the error of the surface A ≈ 5.2 mm2 Lizenz Ich, der Urheber dieses Werkes, veröffentliche es unter der folgenden Lizenz:
Dieses Werk darf von dirverbreitet werden – vervielfältigt, verbreitet und öffentlich zugänglich gemacht werdenneu zusammengestellt werden – abgewandelt und bearbeitet werden Zu den folgenden Bedingungen:Namensnennung – Du musst angemessene Urheber- und Rechteangaben machen, einen Link zur Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Diese Angaben dürfen in jeder angemessenen Art und Weise gemacht werden, allerdings nicht so, dass der Eindruck entsteht, der Lizenzgeber unterstütze gerade dich oder deine Nutzung besonders.Weitergabe unter gleichen Bedingungen – Wenn du das Material wiedermischst, transformierst oder darauf aufbaust, musst du deine Beiträge unter der gleichen oder einer kompatiblen Lizenz wie das Original verbreiten. https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0 CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 true true Deutsch Ergänze eine einzeilige Erklärung, was diese Datei darstellt.