Διαγώνιος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, διαγώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μη-μηδενικά στοιχεία μόνο στην κύρια διαγώνιο.^[1]^:36^[2]^:178-179^[3]^:14-15^[4]^:7^[5]^:7 Πιο συγκεκριμένα, διαγώνιος είναι κάθε $n\times n$ πίνακας $D$ , ο οποίος ικανοποιεί $D_{ij}=0$ για κάθε $i\neq j$ και $1\leq i,j\leq n$ .

Για $n=2,3,4$ , κάθε διαγώνιος πίνακας διαστάσεων $n\times n$ έχει αντίστοιχα την μορφή:

\underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0\\0&d_{2}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0&0\\0&d_{2}&0\\0&0&d_{3}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&0\\0&d_{2}&0&0\\0&0&d_{3}&0\\0&0&0&d_{4}\end{bmatrix}} _{4\times 4}

για κάποια στοιχεία $d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}$ . Στην γενική περίπτωση, ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n}$ στην κυρία διαγώνιό του, γράφεται και ως εξής:^[6]^:62^[7]

\operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n})={\begin{bmatrix}d_{1}&0&\ldots &0\\0&d_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &d_{n}\end{bmatrix}}.

Παραδείγματα

Παρακάτω δίνονται παραδείγματα διαγωνίων πινάκων με διαστάσεις $n\times n$ για $n=2,3,4$ αντίστοιχα:

{\begin{bmatrix}5&0\\0&2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}7&0&0\\0&-3&0\\0&0&2.2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}21&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-8.3&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Ο τετραγωνικός μηδενικός πίνακας $\mathbf {0} _{n,n}=\operatorname {diag} (0,\ldots ,0)$ είναι διαγώνιος.
Ο μοναδιαίος πίνακας $I_{n}=\operatorname {diag} (1,\ldots ,1)$ είναι διαγώνιος.

Ιδιότητες

Το άθροισμα δύο διαγωνίων πινάκων $A=\operatorname {diag} (a_{1},\ldots ,a_{n})$ και $B=\operatorname {diag} (b_{1},\ldots ,b_{n})$ είναι διαγώνιος και ίσoς με

A+B=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})

.

Το γινόμενο δύο διαγωνίων πινάκων $A=\operatorname {diag} (a_{1},\ldots ,a_{n})$ και $B=\operatorname {diag} (b_{1},\ldots ,b_{n})$ είναι διαγώνιος και ίσος με

AB=\operatorname {diag} (a_{1}\cdot b_{1},\ldots ,a_{n}\cdot b_{n})

.

Επομένως με την χρήση μαθηματικής επαγωγής έχουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό

m\in \mathbb {N}

A^{m}=\operatorname {diag} (a_{1}^{m},\ldots ,a_{n}^{m})

.

Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διαγώνιου πίνακα $D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})$ με ένα στοιχείο $c$ είναι ένας διαγώνιος πίνακας ίσος με