Θεώρημα διχοτόμου

Με θεώρημα Θαλή

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή ${\displaystyle \mathrm {B} }$ στην ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } }$ , που τέμνει την προέκταση της ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }$ στο σημείο ${\displaystyle \mathrm {E} }$ .

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι ${\displaystyle \angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {\Delta A\Gamma } }$ (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και ${\displaystyle \angle \mathrm {ABE} =\angle \mathrm {BA\Delta } }$ (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

${\displaystyle \angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {ABE} ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }},}$

και άρα το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {ABE} }$ είναι ισοσκελές με ${\displaystyle \mathrm {AE} =\mathrm {AB} }$ .

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {BE} }$ , έχουμε ότι:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {A\Gamma } }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}}$ .

Με τύπο για τα εμβαδά

θα χρησιμοποιήσουμε τους εξής δύο τύπους για το εμβαδόν τριγώνου:

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}})={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{πρώτη πλευρά }})\cdot ({\text{δεύτερη πλευρά}})\cdot \sin({\text{μεταξύ τους γωνία}}).}$

Παρατηρήστε ότι τα τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {A\Delta B} }$ και ${\displaystyle \mathrm {A\Delta \Gamma } }$ έχουν κοινό ύψος το ${\displaystyle \mathrm {AH} }$ . Επομένως τα εμβαδά τους δίνονται από

${\displaystyle (\mathrm {A\Delta B} )=\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {AB} \cdot \sin {\tfrac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \mathrm {AH} ,}$

και

${\displaystyle (\mathrm {A\Delta \Gamma } )=\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {A\Gamma } \cdot \sin {\tfrac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AH} .}$

Διαιρώντας κατά μέλη αυτές τις δύο ισότητες λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}={\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}.}$

Διχοτόμοι τριγώνου συντρέχουν

Έστω ${\displaystyle \mathrm {A\Delta _{A}} }$ , ${\displaystyle \mathrm {B\Delta _{B}} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta _{\Gamma }} }$ οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου. Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι οι διχοτόμοι συντρέχουν, καθώς

${\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta _{A}} }{\mathrm {\Gamma \Delta _{A}} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma \Delta _{B}} }{\mathrm {A\Delta _{B}} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Delta _{\Gamma }} }{\mathrm {B\Delta _{\Gamma }} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\mathrm {AB} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {B\Gamma } }}=1.}$

Το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι διχοτόμοι λέγεται το έγκεντρο του τριγώνου.

Υπολογισμός ΒΔ και ΓΔ

Έστω ${\displaystyle \alpha =\mathrm {B\Gamma } }$ , ${\displaystyle \beta =\mathrm {B\Gamma } }$ και ${\displaystyle \gamma =\mathrm {AB} }$ , τότε

${\displaystyle \mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}}$ και ${\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } ={\frac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}}$ .

Συντεταγμένες για το έγκεντρο

Έστω ${\displaystyle {\vec {\mathrm {A} }},{\vec {\mathrm {B} }},{\vec {\Gamma }}}$ τα διανύσματα των τριών κορθφών των τριγώνων. Τότε, από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου και την σχέση των ${\displaystyle \mathrm {B\Delta _{A}} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta _{A}} }$ , το σημείο ${\displaystyle \Delta _{A}}$ της διχοτόμου δίνεται από

${\displaystyle {\vec {\mathrm {\Delta _{A}} }}={\frac {\alpha }{\beta +\gamma }}\cdot \left({\vec {\mathrm {B} }}+{\vec {\Gamma }}\right)}$ .

Επομένως, η εξίσωση της διχοτόμου ${\displaystyle \mathrm {A\Delta _{A}} }$ δίνεται από

${\displaystyle t\cdot {\vec {\mathrm {A} }}+(1-t)\cdot {\frac {\alpha }{\beta +\gamma }}\cdot \left({\vec {\mathrm {B} }}+{\vec {\Gamma }}\right)}$ ,

για ${\displaystyle t\in [0,1]}$ . Αντίστοιχα, και για τις άλλες διχοτόμους. Το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις ταυτόχρονα είναι το

${\displaystyle {\vec {\mathrm {I} }}={\frac {1}{\alpha +\beta +\gamma }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\mathrm {A} }}+\beta \cdot {\vec {\mathrm {B} }}+\gamma \cdot {\vec {\mathrm {\Gamma } }}\right)}$ .

Επομένως, αυτό είναι το έγκεντρο του τριγώνου.

Απολλώνιος κύκλος

Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του γεωμετρικού τόπου των σημείων ${\displaystyle \mathrm {P} }$ των οποίων οι αποστάσεις από δοσμένα σημεία ${\displaystyle \mathrm {A} }$ και ${\displaystyle \mathrm {B} }$ , έχουν σταθερό λόγο ${\displaystyle k}$ . Δηλαδή,

${\displaystyle k={\frac {\mathrm {PA} }{\mathrm {PB} }}.}$

Ο γεωμετρικός τόπος αυτών των σημείων είναι ο Απολλώνιος κύκλος.

Απόδειξη

Η απόδειξη είναι η ίδια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιώντας το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω:

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή ${\displaystyle \mathrm {B} }$ στην ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } }$ , που τέμνει την προέκταση της ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }$ στο σημείο ${\displaystyle \mathrm {E} }$ .

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι ${\displaystyle \angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {\Delta A\Gamma } }$ (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και ${\displaystyle \angle \mathrm {ABE} =\angle \mathrm {BA\Delta } }$ (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

${\displaystyle \angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {ABE} ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }},}$

και άρα το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {ABE} }$ είναι ισοσκελές με ${\displaystyle \mathrm {AE} =\mathrm {AB} }$ .

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {BE} }$ , έχουμε ότι:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {A\Gamma } }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}}$ .

Υπολογισμός των ΒΔ' και ΓΔ'

Από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου και χρησιμοποιώντας ότι ${\displaystyle \gamma =\mathrm {B\Delta '} -\mathrm {\Gamma \Delta '} }$ , προκύπτει ότι

${\displaystyle \mathrm {B\Delta '} ={\frac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}}$ και ${\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta '} ={\frac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}}$ .

• Διχοτόμος γωνίας
• Έγκεντρο τριγώνου
• Απολλώνιος κύκλος