Νόμος των εφαπτομένων

Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}=d,}$

όπου ${\displaystyle d}$ η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι

${\displaystyle \alpha =d\sin \mathrm {A} }$ ,

()

και

${\displaystyle \beta =d\sin \mathrm {B} }$ .

()

Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τους τριγωνομετρικούς τύπους για το άθροισμα και την διαφορά δύο ημιτόνων

${\displaystyle \sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} =2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\quad }$

()

και

${\displaystyle \sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} =2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}$ .

()

Για να αποδείξουμε τον νόμο των εφαπτομένων ξεκινάμε από το αριστερό μέλος και χρησιμοποιούμε τις σχέσεις (1) και (2),

${\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {d\sin \mathrm {A} -d\sin \mathrm {B} }{d\sin \mathrm {A} +d\sin \mathrm {B} }}={\frac {\sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} }}.}$

Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3) και (4), έχουμε ότι

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}&={\frac {2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}{2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}}={\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)/\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)/\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}\\&={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}\end{aligned}}}$ ,

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Οι τύποι Mollweide είναι οι εξής

${\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}$ ,

και

${\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}$ .

Διαιρώντας και τους δύο τύπους κατά μέλη, έχουμε ότι

${\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cot {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}$ .

Αφού ${\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } }$ είναι γωνίες τριγώνου έχουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } =\pi -(\mathrm {A} +\mathrm {B} )}$ . Χρησιμοποιώντας ότι ${\displaystyle \tan \phi =\tan(\pi -\phi )}$ , λαμβάνουμε ότι

${\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}}$ .

Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu^[4]

• Νόμος των ημιτόνων
• Νόμος των συνημιτόνων