Φραγμένο σύνολο
Στην μαθηματική ανάλυση, ένα σύνολο ονομάζεται φραγμένο, αν κατά κάποιο τρόπο είναι περιορισμένου μεγέθους. Αντιστρόφως, ένα σύνολο το οποίο δεν περιορίζεται ονομάζεται μη φραγμένο ή απέραντο. Η λέξη φραγμένο δεν έχει κανένα νόημα σε ένα γενικό τοπολογικό χώρο, χωρίς κάποια μετρική.
Ορισμός
Ένα σύνολο S πραγματικών αριθμών ονομάζεται άνω φραγμένο, αν υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός k έτσι ώστε να ισχύει k ≥ s για όλους s στο S.[1][2] Ο αριθμός κ ονομάζεται ανώτερο όριο ή άνω φράγμα του S. Οι όροι κάτω φραγμένο και κατώτερο όριο ή κάτω φράγμα ορίζονται ομοίως.
Ένα σύνολο S είναι φραγμένο αν έχει άνω και κάτω όρια. Ως εκ τούτου, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι φραγμένο αν περιέχεται σε ένα πεπερασμένο διάστημα.
Μετρικός χώρος
Ένα υποσύνολο S ενός μετρικού χώρου (M, d) είναι φραγμένο εάν περιέχεται σε μια μπάλα πεπερασμένης ακτίνας, δηλαδή εάν υπάρχει x στον Μ και r>0 έτσι ώστε για όλα τα s στο S, να έχουμε d(x, s) < r. Ο M είναι ένας φραγμένος μετρικός χώρος (ή η d είναι μια φραγμένη μετρική) εάν ο Μ είναι φραγμένος ως υποσύνολο του εαυτού του.
- Ο πλήρως οριοθετημένος χώρος συνεπάγεται οριοθέτηση. Για υποσύνολα του Rn που είναι ισοδύναμα τα δύο.
- Ένας μετρικός χώρος είναι συμπαγής αν και μόνον αν είναι πλήρης και οριοθετείται πλήρως.
- Ένα υποσύνολο Ευκλείδειου χώρου Rn είναι συμπαγές αν και μόνον αν είναι κλειστό και φραγμένο.
Οριοθέτηση σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους
Στους τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους υφίσταται ένας διαφορετικός ορισμός για τα φραγμένα σύνολα, ο οποίος ονομάζεται και οριοθέτηση von Neumann. Οι δύο ορισμοί συμπίπτουν, εάν η τοπολογία του τοπολογικού διανυσματικού χώρου επάγεται από κάποια μετρική η οποία είναι ομοιογενής, όπως στην περίπτωση μιας μετρικής που προκαλείται από τη νόρμα του διανυσματικού χώρου.
Παραπομπές
- R. G. Bartle & D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, Limusa S.A., 2009.
- Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.