Filosofía de las matemáticas

Desde la antigüedad la filosofía ha tenido interés en, por lo menos, ciertos aspectos de la matemática.^[6]​ En las palabras de Miguel de Guzmán: "Pero hay otros aspectos interesantes de la matemática que atraen de modo natural al filósofo. La dinámica interna del pensamiento matemático, la lógica de su estructura, simple, tersa, sobria, clara, hacen de ella un modelo de reflexión fiable que suscita el consenso de todos. Los filósofos interesados en aclarar los misterios del conocimiento humano han visto en el pensamiento matemático un campo ideal de trabajo donde poner a prueba sus hipótesis y teorías.".^[7]​ Mario Bunge va más lejos y llega a sugerir que las matemáticas son no sólo el fundamento del quehacer científico sino también del filosófico.^[8]​

Por mucho de ese tiempo la opinión general era la que Carl Friedrich Gauss resumió: «La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas. Ella a menudo se digna a prestar un servicio a la astronomía y a otras ciencias naturales, pero en todas las relaciones, tiene derecho a la primera fila».^[9]​ Esta preeminencia se debía a una percepción que, últimamente, emana de Platón: "En las matemáticas se halla el origen y fundamento de la teoría platónica de las formas o ideas. En esta la idealización de los entes matemáticos se transforma en la idealización de los entes físicos y psíquicos. La verdad matemática, por su invariabilidad en el tiempo, era el modelo a seguir en todo conocimiento intelectual. El método deductivo, que partiendo de axiomas y definiciones llegaba a la demostración de teoremas, era el modelo prestigioso de razonamiento para todo saber. En el diálogo "Menón" Sócrates,  a través de preguntas y respuestas, hace que un esclavo alcance por su propio razonamiento una verdad matemática; así, de una manera popular, expone Platón que las matemáticas están en el alma humana, ya que en esta se halla presente el logos que gobierna el mundo material mediante las proporciones aritméticas y geométricas. Sólo se requiere la introspección para volvernos conscientes de ese saber interno.".^[10]​

Esa posición es generalmente conocida como realismo; platonismo o realismo platónico y "de manera muy esquemática, puede sintetizarse en la creencia de que los objetos matemáticos son reales y su existencia es un hecho objetivo e independiente de nuestro conocimiento de los mismos.... existen fuera del espacio y del tiempo de la experiencia física y cualquier pregunta significativa sobre ellos tiene una respuesta definida. Así el matemático es, en este sentido, como un científico empírico que no puede inventar ni construir sino solo descubrir algo que ya existe.^[11]​ Acorde con el físico Paul Davies: "Los científicos no usan las matemáticas simplemente como una forma conveniente de organizar los datos. Creen que las relaciones matemáticas reflejan aspectos reales del mundo físico."^[12]​

Sin embargo, hacia fines del siglo XIX esta situación comenzó a cambiar, proceso que eventualmente culminó, a fines del siglo XIX y comienzo del XX, en la llamada crisis de los fundamentos:^[13]​^[14]​^[15]​^[16]​^[17]​^[18]​ "La imagen tradicional de las matemáticas (formal e infalible) fue cuestionada a raíz de la llamada "crisis de los fundamentos de las matemáticas", que sucedió en el siglo XIX. Dicha "crisis" se originó principalmente por dos descubrimientos: primero el de las geometrías no euclidianas y, segundo, el de la teoría de los conjuntos."^[19]​

Esa situación ha sido resumida de la siguiente manera^[20]​

"Hasta bien entrado el siglo XIX, la geometría era universalmente considerada la rama más firme del conocimiento.... La Geometría era, simplemente, el estudio de las propiedades del espacio. Estas se manifestaban como verdades objetivas, universalmente válidas para la mente humana.

Durante el siglo XIX sucedieron “varios desastres que iban a cambiar completamente esta situación. El primero fue el descubrimiento de geometrías no euclídeas, al que inmediatamente siguió otro desastre mayor: el desarrollo del análisis por caminos contrarios a la intuición geométrica (curvas que llenan el espacio, funciones continuas no diferenciables, etc.) lo que puso de manifiesto la gran vulnerabilidad del único fundamento que hasta entonces tenían las Matemáticas: la intuición geométrica. Esto era una auténtica catástrofe puesto que en algún sentido implicaba la pérdida de la certeza, no solo en la Matemática sino en todo el conocimiento humano.

Se pensó entonces buscar otra “base segura” para fundamentar las Matemáticas, y así Dedekind y Weierstrass mostraron como era posible construir el análisis -el continuo- a partir de la Aritmética. Parecía que todo volvía a estar en orden, pues nadie dudaba de la certeza proporcionada por nuestra intuición de contar y así los números enteros serían la nueva base segura para todo el edificio matemático... (ver programa de Hilbert).

Pero el intento de fundamentar rigurosamente la Matemática iba a ser llevado un paso más lejos por Frege, quien comenzó un ambicioso programa para basar las Matemáticas en la Lógica -a través de la Aritmética. Este fue el punto de partida de la escuela logicista que más tarde sería continuada por Russell y Whitehead. La idea logicista consistía en demostrar que la Matemática clásica era parte de la lógica, de modo que una vez culminado su programa podría asegurarse que la Matemática estaba libre de contradicción al menos en la misma medida que la propia lógica.

Sin embargo, ya en ese momento se habían hecho descubrimientos que iban a sacudir completamente este optimismo dejando de nuevo a la Matemática sin fundamentos seguros. En efecto, la construcción del continuo a partir de la Aritmética se basaba en la Teoría de Conjuntos de Cantor (ver hipótesis del continuo), que también había sido utilizada por Frege en sus fundamentación de la Aritmética. Pero la teoría de Cantor, y en particular su hipótesis básica sobre la existencia de conjuntos encerrada en su definición: “un conjunto es cualquier colección de objetos distintos de nuestra intuición o nuestro pensamiento”, que puede ser traducida por “cualquier condición determina un conjunto”, iba a revelarse inconsistente."

Esa crisis dio origen a varias tentativas de resolución, lo que, a su vez, dio origen a tres corrientes principales: las escuelas intuicionista, logicista y formalista^[21]​ (esa es la visión general o común, algunos incluyen otras escuelas, tales como el fenomenalismo de Husserl^[22]​). Argumentablemente esas tentativas fueron infructuosas^[23]​ lo que dio origen a otras escuelas, tanto derivadas de las anteriores^[24]​ como de otras percepciones básicas -por ejemplo, del empirismo. Sin embargo, y argumentablemente, la situación todavía no se ha resuelto del todo.^[25]​^[26]​^[27]​

Al respecto de todo lo anterior hay algunas interrogantes fundamentales y sistemáticas, tales como:

1. el modo de ser de los objetos matemáticos: ¿acaso estos existen realmente e independientemente de cualquier empleo específico? Y, si es así, ¿en qué sentido? Y ¿qué significa referirse a un objeto matemático? ¿Cuál es el carácter de los teoremas matemáticos? ¿Cuál es la relación entre la lógica y las matemáticas? Aquí se trata de cuestiones ontológicas;
2. el origen del conocimiento matemático: ¿cuáles son la fuente y la esencia de la verdad matemática? ¿Cuáles son las condiciones de la ciencia matemática? ¿Cuáles son, en lo fundamental, sus métodos de investigación? ¿Qué papel, en relación con lo anterior, tiene la naturaleza del ser humano? Aquí se trata de cuestiones epistemológicas;
3. la relación entre las matemáticas y la realidad: ¿cuál es la relación entre el mundo abstracto de las matemáticas y el universo material? ¿Tienen las matemáticas sus raíces en la experiencia? Y, si es así, ¿cómo? ¿Cómo es que las matemáticas «calzan tan bien con los objetos de la realidad» (Albert Einstein^[28]​)? ¿De qué manera los conceptos tales como número, punto, infinito, etc. adquieren un significado que trasciende el ámbito estrictamente matemático? William Lane Craig argumentó que la eficacia de las matemáticas en la naturaleza se explica mejor apelando a la existencia de un Dios.^[29]​

El punto de partida es casi siempre la concepción de que las proposiciones matemáticas son ciertas por principio, de manera atemporal y exacta, y que su veracidad no depende ni de evidencias empíricas ni de puntos de vista personales. La tarea consiste tanto en determinar las condiciones de la posibilidad de adquirir ese conocimiento como en cuestionar críticamente este punto de partida.

Artístico

La visión que sostiene que las matemáticas son la combinación estética de suposiciones, y luego también afirma que las matemáticas son un arte, fue compartida por el matemático británico G. H. Hardy^[30]​ y también metafóricamente por el francés Henri Poincaré.^[31]​ Para Hardy, en su libro Apología de un matemático, la definición de matemáticas se parecía más a la combinación estética de conceptos.^[32]​

Platonismo

Matematicismo

La hipótesis del universo matemático de Max Tegmark (o matematicismo) va más allá del platonismo al afirmar que no sólo existen todos los objetos matemáticos, sino que no existe nada más. El único postulado de Tegmark es: Todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente. Es decir, en el sentido de que "en esos [mundos] lo suficientemente complejos como para contener subestructuras autoconscientes [ellos] se percibirán subjetivamente a sí mismos como existiendo en un mundo 'real' físicamente".^[36]​^[37]​

Aristotelismo

En filosofía de las matemáticas, el realismo aristotélico sostiene que las matemáticas estudian propiedades como la simetría, la continuidad y el orden que pueden realizarse literalmente en el mundo físico. Por ejemplo, el número 4 se realiza en la relación entre un montón de loros y el universal "ser un loro" que divide el montón en tantos loros.^[38]​

Aristóteles considera que los objetos matemáticos son, a diferencia de Platón, abstracciones de objetos y realidades materiales dependientes del mundo físico y no podían tener realidad aparte de las cosas empíricas. No son o existen per se, sino en los objetos individuales como seres en potencia. Las matemáticas carecen de universalidad.^[39]​ Según Aristóteles en la Metafísica, hay "una ciencia que estudia el ser en tanto que ser y los accidentes propios del ser [...] diferente de todas las ciencias particulares" que sólo tratan del ser bajo cierto punto de vista, sus accidentes, y "en este caso están las ciencias matemáticas".^[40]​ Por eso los seres matemáticos no son sustancias, pues "la forma sustancial es la esencia; el número, por lo contrario, expresa la materia: un número de carne, de hueso".^[41]​ En las Categorías, llama a estos seres sustancias segundas, ya que la categoría de cantidad es posterior a la de sustancia.^[42]​ Las entidades matemáticas son todos los objetos potenciales del intelecto que dan una idea de la belleza y un placer intelectual.^[43]​

Aristóteles criticó las ideas platónicas afirmando que el verdadero ser se encuentra no en lo universal, sino en lo individual.^[44]​ Este es el origen y la base de un realismo filosófico moderado, que sostiene que los conceptos universales son realidades en la mente y aunque carecen de existencia independiente, tienen su fundamento en las cosas existentes.^[45]​ Los defensores más conocidos son Alberto Magno y Tomás de Aquino.^[46]​^[47]​ La escuela "Sydney School" adoptó una noción realista neoaristotélica de las matemáticas frente el platonismo y el nominalismo.^[48]​^[49]​ También se ha considerado a Nicolai Hartmann^[50]​ y Penelope Maddy^[51]​ como aristotélicos en sus filosofías sobre las matemáticas. La aritmética euclidiana desarrollada por John Penn Mayberry en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets también cae en la tradición realista aristotélica.^[52]​

Formalismo

El formalismo matemático entiende las matemáticas como un lenguaje simbólico basado en un cierto conjunto de reglas para manipular cadenas de caracteres: "..el programa del formalismo matemático consiste en construir la Matemática como un sistema lógico-formal puro, cuya condición fundamental es la ausencia de contradicción, prescindiendo de todo tipo de contenido; se trata, pues, de un sistema formal vacío. Este sistema formal estaría integrado por uno o más conjuntos de elementos fundamentales, por relaciones definidas entre los elementos de estos conjuntos y por proposiciones reguladoras de estas relaciones (proposiciones que comprenden los axiomas y las demás proposiciones de ellos deducidas: los teoremas).^[53]​ Por ejemplo, en el contexto formal de geometría euclidiana se obtiene el teorema de Pitágoras combinando ciertas cadenas (los axiomas) según determinadas reglas (las del razonamiento lógico).^[54]​^[55]​

David Hilbert es generalmente considerado fundador del formalismo moderno.^[56]​ Su interés era la construcción axiomática consistente y completa de la totalidad de las matemáticas,^[57]​ seleccionando como punto de partida los números naturales y asumiendo que mediante el uso de axiomas se obvía la necesidad de definir los objetos básicos (op. cit) con el fin de lograr un sistema completo y consistente (ver Programa de Hilbert).

En esta visión los enunciados matemáticos pierden el carácter de verdades; dejan de ser, en última instancia, proposiciones "sobre algo". Lo que importa son las relaciones que se establecen entre ellos: "Hilbert sostiene que la verdadera importancia en la construcción de los saberes matemáticos no es el resultado numérico, sino la ley de cómo estructurar las relaciones entre los objetos matemáticos.... Las reglas que enlazan funcionalmente los objetos con su sistema de referencia formarán parte de un Sistema Formalizado Matemático; en donde, se entiende como formalización a un conjunto de leyes descubiertas en el seno de su misma estructura, la que mantiene su consistencia en las demostraciones."^[58]​

Otro matemático que fue inspirado por el formalismo fue Haskell Curry, generalmente considerado el fundador de la lógica combinatoria.

A pesar de que esta propuesta fue de corta duración, debido al teorema de incompletitud de Gödel, que demostró que cualquier sistema de axiomas que incluya los números naturales es o bien incompleto o bien contradictorio, llegó, de facto, a constituir la posición más aceptada entre los matemáticos hasta el último cuarto del siglo XX: "Los años setenta vieron decaer la tendencia formalista, representada por el grupo Bourbaki, seudónimo de varias generaciones de matemáticos franceses,"^[59]​

Deductivismo

Convencionalismo

El matemático francés Henri Poincaré fue uno de los primeros en articular una visión convencionalista.^[70]​ El uso de Poincaré de geometrías no euclidianas en su trabajo sobre ecuaciones diferenciales lo convenció de que la geometría euclidiana no debería considerarse una verdad a priori. Sostuvo que los axiomas en geometría deberían elegirse por los resultados que producen, no por su aparente coherencia con las intuiciones humanas sobre el mundo físico.

Intuicionismo

El intuicionismo matemático^[71]​ rechaza tanto la sugerencia logicista como la formalista, proponiendo que el conocimiento matemático se basa en la aprehensión -que antecede cualquier lenguaje o lógica- de algunos conceptos matemáticos básicos.^[72]​^[73]​ Este intuicionismo se origina sobre la base de las ideas de Kant y Schopenhauer en la propuesta de L. E. J. Brouwer^[72]​^[74]​ que el saber matemático se basa en la intuición primordial^[75]​^[76]​ de los números naturales ( 1, 2, 3... ). Cada uno de esos números puede, a partir de la intuición básica del 1, ser "construido" agregando 1 al anterior. (Nótese que esto introduce un elemento temporal - ver D. Pareja. op. ci).

A partir de lo anterior, el resto de la matemática puede (y debe) ser construida de forma explícita y rigurosa, lo que requiere un método claro y preciso^[77]​- Solo entidades cuya existencia (positiva o negativa) haya sido demostrada de tal manera, o por medio de tal método, tienen validez matemática.^[78]​ Parafraseando el dicho platonista, se podría decir que, desde el punto de vista intuicionista, las verdades matemáticas no se descubren, se crean.^[79]​

Entre otras consecuencias de lo anterior se encuentra la restricción del principio del tercero excluido:^[80]​^[81]​ saber que una proposición es falsa implica, para los intuicionistas, poder demostrar esa falsedad.^[82]​^[83]​ (ver, por ejemplo, Lógica intuicionista). Sigue que, en un momento dado (por ejemplo, el presente) es perfectamente posible que haya proposiciones acerca de las cuales no tenemos certeza acerca de si son correctas o no. (nótese que esto introduce, nuevamente, un elemento temporal en la "verdad" matemática). (Lo anterior no es un rechazo absoluto del principio. Los intuicionistas lo utilizan en situaciones específicas -por ejemplo, en el caso de conjuntos bien definidos y finitos. Ver Aritmética de Heyting)^[79]​)

Otras diferencias con lo que se puede considerar matemáticas clásicas se encuentran en la concepción del infinito y la del continuo. Para los intuicionistas un (cualquier) ente es válido si y solo si puede ser construido por medio de un procedimiento especificado y con un número finito de pasos o operaciones (este procedimiento puede ser un algoritmo o algún otro que siga una regla: por ejemplo: arrojar un dado veinte mil veces a fin de generar cualquier número). Pero ¿cuál procedimiento específico y finito puede generar el infinito? Cualquier procedimiento que escojamos solo nos dará algún número concreto. Consecuentemente, el infinito intuicionista es solo potencial, a diferencia del "infinito oficial" que lo concibe como "una totalidad completa y acabada.".^[84]​ Si bien esta diferencia es más bien metafísica (op. cit), argumentablemente sin consecuencias mayores para la práctica matemática, es la introducción a la diferencia sobre la concepción del continuo, que si tiene tales consecuencias. (op. cit, esp p 108).

El concepto intuicionista del continuo^[85]​ rechaza la concepción axiomática clásica (de Cantor y Zermelo, etc ver Hipótesis del continuo, etc), basada en la teoría de conjuntos y sugiere utilizar una especie de "principio de elección" (choice principles^[86]​ que Brouwer llama "secuencias de elecciones libres"), basado en la intuición que, entre dos puntos (o números) cualquiera, un matemático puede elegir libremente otro punto o número, y así indefinidamente: “El continuo lineal no puede ser agotado por la interpolación de nuevas unidades. Y no puede por lo tanto ser pensado como una mera colección de unidades.”.^[87]​ (al respecto de todo esto, ver: "El Error de Cantor"^[88]​).

La introducción de secuencias de elecciones tiene varias consecuencias^[89]​ difíciles de aceptar para la matemática no intuicionista.^[90]​ Como ejemplos, la demostración intuicionista del teorema de la barra (bar theorema^[91]​) y el teorema del abanico (fan theoreme^[92]​).

Aparte de Arend Heyting, otros matemáticos y lógicos de nota influidos por esta visión incluyen: Hermann Weyl, quien promovió una visión constructivista de la matemáticas. La aplicación del intuicionismo a la topología por Alfred Tarski; los trabajos matemáticos de Andréi Kolmogórov y los de Andréi Márkov y los desarrollos de una lógica intuicionista por Saul Kripke.^[93]​

Entre los filósofos que continúan esta tradición encontramos Michael Dummett.^[94]​

Logicismo

Constructivismo

Finitismo

Esta sección es un extracto de Finitismo.editar

En filosofía de las matemáticas, el finitismo es una forma extrema de constructivismo, de acuerdo a la cual un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo de los números naturales en un número de pasos finitos. En contraste, la mayoría de constructivistas admiten un conjunto de pasos infinito numerable.

Estructuralismo

Ficcionalismo

Empirismo

El empirismo matemático^[110]​ puede trazarse a la obra Un sistema de lógica de John Stuart Mill al afirmar que las matemáticas son "ciencia empírica de validez más general".^[111]​ Para Mill, los conceptos matemáticos proceden del mundo físico y las verdades de la matemática son verdades acerca del mundo físico, aunque de un carácter más general. Las verdades matemáticas serían las verdades más generales de todas (Dummett 1998, pp. 125-126). Mill propuso que los principios matemáticos y las conclusiones de la ciencia deductiva (como la geometría, aritmética, álgebra...) son inductivas. Los axiomas se basan en la observación y en generalizaciones a partir de experiencias repetidas. Por ejemplo, 2 + 2 y 3 + 1 son necesariamente iguales porque un grupo de 4 cosas puede disponerse en dos grupos de 2 cosas y en un grupo de 3 cosas y otro de 1. El epicúreo Zenón de Sidón anticipó a Mill en esta teoría matemática inductiva.^[112]​ Mill cree que este punto de vista "debe esperarse la recepción más desfavorable".^[113]​ Gottlob Frege reprendió muchas de las ideas de Mill sobre la filosofía de las matemáticas en su obra Los fundamentos de la aritmética.^[114]​

A pesar de que la sugerencia de Mill no despertó gran interés entre matemáticos (P Kitcher: "el problema que muchas de sus formulaciones son imprecisas (casi invitando las bien conocidas ironías de Frege) y, en adición, Mill solo considera las más rudimentarias partes de la matemáticas"^[115]​), la idea básica fue eventualmente retomada por dos autores: Stephan Körner^[116]​ y László Kalmár.^[117]​ Para Körner, "las teorías científicas integradas en la matemática funcionan y están justificadas, junto con su marco de trabajo matemático como constituyentes sincategoremáticos^[118]​ de las proposiciones empíricas ". Para Kalmar "los axiomas de cualquier rama interesante de las matemáticas fueron originalmente extraídos, más o menos directamente, de los hechos empíricos, y las reglas de inferencia utilizadas en ella originalmente manifestaron su validez universal en nuestra práctica del pensamiento; III) la consistencia de la mayoría de nuestros sistemas formales es un hecho empírico, (y) aun cuando se ha demostrado, la aceptabilidad de los métodos metamatemáticos utilizados en la prueba (por ejemplo inducción transfinita hasta cierto ordinal constructivo) es de nuevo un hecho empírico.".^[119]​

Esta visión ha sido expandida por, entre otros, Philip Kitcher, quien busca sistematizarla;^[120]​ Carl E. Behrens, quien sugiere que "Al rehabilitar el empirismo de John Stuart Mill y combinarlo con el conocimiento cada vez mayor de la naturaleza de la mente humana, podemos escapar del indefinible universo platónico de la conciencia inmaterial y abandonar la vana búsqueda por la certidumbre que ha plagado la filosofía desde los tiempos de los griegos.^[121]​

Cuasi-empirismo

El término cuasi-empirismo fue introducido por Imre Lakatos^[122]​ a fin de enfatizar un punto crucial de su sugerencia: "Una teoría euclidiana puede ser proclamada verdadera. Una teoría cuasi-empírica puede —a lo más— ser bien corroborada, pero es siempre conjetural. Adicionalmente, en una teoría Euclidiana los postulados verdaderos básicos en "la cumbre" del sistema deductivo (generalmente llamados 'axiomas') demuestran, por así decirlo, el resto del sistema; en una teoría cuasi-empírica los postulados básicos (verdaderos) son explicados por el resto del sistema." (op cit, sección 2).

"El cuasi-empirismo postula que para entender y explicar las matemáticas no basta con analizar su estructura lógica ni su lenguaje sino que hay que estudiar su práctica real, la manera en que efectivamente las aplican los matemáticos, las enseñan los profesores y las aprenden los estudiantes, su historia, las revoluciones que ocurren en ellas, los paradigmas y los programas que dominan, las comunidades de matemáticos, el tipo de retórica que se emplea en ellas y el papel que juega el conocimiento matemático en las distintas sociedades y culturas."^[123]​

• El cuasi empirismo de Lakatos: Lakatos plantea que la supuesta necesidad lógica (o verdad a priori) de las matemáticas deriva de que nos hemos olvidado, no conocemos, o no valoramos adecuadamente el proceso de pruebas y refutaciones informales, siempre falibles, por medio del cual se llega a las pruebas formales que después dan lugar a las axiomatizaciones. Lakatos propone que: 1) las pruebas formales son falseables por medio de las pruebas informales; 2) el proceder de las matemáticas no es axiomático, como plantean los formalistas, sino basado en una sucesión de pruebas y refutaciones que sólo llegan a resultados falibles; 3) el intento de proveer de fundamentos a las matemáticas conlleva un retroceso al infinito; 4) la historia de las matemáticas debe ser estudiada no a través de teorías aisladas sino de series de teorías o, mejor aún, de programas de investigación que incluyen un núcleo firme no falseable y un cinturón protector de hipótesis auxiliares que sí son falseables, pero que son modificables;10 5) debemos preferir no el programa matemático que esté completamente axiomatizado sino el que sea progresivo, esto es, el que permita descubrir hechos nuevos e inesperados.^[123]​
• El cuasi empirismo de Putman: Hilary Putnam parte de las tesis quineanas acerca del holismo de las teorías y la naturalización de la epistemología, pero también, como su maestro Reichenbach, del impacto de la física moderna en nuestra concepción de la ciencia y de la realidad. En las matemáticas, según Putnam, hay un juego entre postulación, pruebas informales o cuasi-empíricas y revolución conceptual. Putnam reconoce que las matemáticas no son ciencias experimentales y que son más a priori que, por ejemplo, la física, sin embargo señala que la distinción entre lo a priori y lo a posteriori es más bien relativa: que algo sea a priori significa, simplemente, que juega un papel fundamental en nuestra concepción del mundo o en nuestra forma de vida y que, por tanto, no estamos dispuestos a renunciar a ello. Concretamente, la teoría de conjuntos es indispensable para la física^{[cita requerida]}, por ello, las entidades sobre las cuales cuantifica, a saber, los conjuntos, deben ser considerados como reales, pues no se puede aceptar el conocimiento que proporciona la física sin aceptar dichas entidades o, mejor dicho, al aceptar el conocimiento de la física, ya se ha aceptado, implícitamente, la teoría de conjuntos. Así, las matemáticas comparten el contenido empírico con las teorías físicas de las que forman parte y se modifican junto con ellas.

Psicologismo

El psicologismo en la filosofía de las matemáticas es la posición en la que los conceptos y / o verdades matemáticos se basan en hechos (o leyes) psicológicos o se derivan de ellos o se explican por ellos. John Stuart Mill parece haber sido un defensor de un tipo de psicologismo lógico, al igual que muchos lógicos alemanes del siglo XIX como Christoph Sigwart y Johann Eduard Erdmann, así como una serie de psicólogos, por ejemplo, Gustave Le Bon.^[124]​

Gottlob Frege criticó el psicologismo en sus Los fundamentos de la aritmética y en muchas de sus obras y ensayos, incluida su revisión de la Filosofía de la aritmética de Husserl. Edmund Husserl, en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas, llamado "Prolegómenos a la lógica pura", criticó a fondo el psicologismo y buscó distanciarse de él. El psicologismo también fue criticado por Charles Sanders Peirce y Maurice Merleau-Ponty. No obstante, modernas revisiones han acusado a las críticas de Frege y Husserl de cometer peticiones de principio, además de criticar las opiniones de ambos sobre la naturaleza de las leyes lógicas, especialmente que sean necesarias y únicas, ya examinados en los artículos de Quine, quien pidió un famoso regreso al psicologismo.^[124]​

Teísmo

• Filosofía de la ciencia
• Fundamentos de la matemática
• Historia de la matemática

• Cañón L; Camino (1993): La matemática: creación y descubrimiento
• Collette; Jean-Paul (1993): Historia de las matemáticas, volumen 2
• Davis; Philip J. y Hersh; Reuben (1981): Experiencia matemática (Introducción general no técnica)
• Dummett, Michael (1998), "The Philosophy of Mathematics" en Grayling, A. C. (ed.)Philosophy 2: Further Through The Subject, Oxford University Press, 1998.
• Gabbay;D. M.- Thagard; P.- Woods; J. (edts): Philosophy of Mathematics
• George; Alexander - Velleman; Daniel (2001) Philosophies of Mathematics
• Kline; Morris (1980): Mathematics: The Loss of Certainty
• Kline; Morris: Matemáticas. La pérdida de la certidumbre. Siglo XXI España 1985 (1a Ed.), México 2000 (5a Ed.)
• Körner, Stephan (1968), Introducción a la filosofía de la matemática, Editorial Siglo XXI, 1968
• Lakatos, Imre. (1978 / 1986) Pruebas y Refutaciones: La Lógica Del Descubrimiento Matemático.- Alianza Universidad
• Lakatos, Imre. "La metodología de los Programas de investigación científica". Alianza. Madrid. 1993.
• Lorenzo, Javier. de: La matemática: de sus fundamentos y crisis.- Tecnos, Madrid.
• Lorenzo, J. de (1992), Kant y la matemática. El uso constructivo de la razón pura, Editorial Tecnos, 1992
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• Macbeth; Danielle: Logic and the Foundations of Mathematics
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• Shapiro, Stewart (2000). Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics. Oxford University Press.
• Shapiro; Stewart (Edtr -2005): The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic
• Solís, Carlos y Sellés, Manuel (2005), Historia de la ciencia, Editorial Espasa, 2005
• Zalamea, Fernando (2009), Filosofía sintética de las matemáticas contemporáneas, Editorial Universidad Nacional de Colombia.

• Logicismo, en PhilPapers
• Formalismo, en PhilPapers
• Intuitionismo y constructivismo, en PhilPapers
• Estructuralismo, en PhilPapers