Eksponenttijakauma

Eksponenttijakauma on muistinmenetysominaisuuden omaava ja Poisson-prosessin insidenssien välisen ajan jakauma.

Eksponenttijakauma

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Parametrit	λ > 0 rate, or inverse skaalaselvennä
Määrittelyjoukko	x ∈ [0, ∞)
Tiheysfunktio	λ e−λx
Kertymäfunktio	1 − e−λx
Odotusarvo	λ−1
Mediaani	λ−1 ln 2
Moodi	0
Varianssi	λ−2
Vinous	2
Huipukkuus	6
Entropia	1 − ln(λ)
Momentit generoiva funktio	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,}$
Karakteristinen funktio	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,}$

Eksponenttijakauma on jatkuva, ja sen arvojoukko on positiivisten reaalilukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ on eksponenttijakautunut, merkitään

${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda ).}$

Parametri ${\displaystyle \lambda >0}$ on jakauman odotusarvon käänteisluku. Tiheysfunktio on arvojoukossa

${\displaystyle f_{X}(x)=\lambda e^{-\lambda x}}$

ja kertymäfunktio

${\displaystyle F_{X}(x)=1-e^{-\lambda x}.}$

Odotusarvo ja varianssi ovat

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{\lambda }}}$ ja ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}$

Eksponenttijakaumalla on niin kutsuttu muistinmenetysominaisuus, eli jos ${\displaystyle a>0}$, niin

${\displaystyle \operatorname {P} (X>x+a\,|\,X>a)=\operatorname {P} (X>x).}$

Siis jos ${\displaystyle X}$ on esimerkiksi elinaika, niin muistinmenetysominaisuuden mukaan jäljellä oleva elinaika ei riipu iästä. Jatkuvista jakaumista vain eksponenttijakaumalla on muistinmenetysominaisuus.