Kvanttisähködynamiikka (QED < engl. Quantum electrodynamics ) tai kvanttielektrodynamiikka on sähkömagnetismin suhteellisuusteoreettinen kvanttikenttäteoria . QED kuvaa sähköisesti varattujen hiukkasten vuorovaikutustapahtumat, jotka tapahtuvat fotonien välityksellä. [1] Sitä sanotaan usein "fysiikan helmeksi", koska se kuvaa äärimmäisen tarkasti elektronin anomaalisen magneettimomentin arvon ja vedyn energiatasojen Lambin siirtymän .
Teoriaa QED:stä olivat kehittelemässä Richard Feynman , Julian Schwinger ja Shin’ichirō Tomonaga . [2]
Matemaattisesti kvanttielektrodynamiikan rakenne on abelinen mittakenttäteoria, jonka symmetriaryhmänä toimii U(1) mittaryhmä. Mittakenttä, joka kuljettaa varattujen spin-1/2-kenttien välisen vuorovaikutuksen on sähkömagneettinen kenttä .QED:n Lagrangen tiheys elektronin ja positronin väliselle fotonien kuljettamalle vuorovaikutukselle on muotoa
L = ψ ¯ ( i γ μ D μ − m ) ψ − 1 4 F μ ν F μ ν . {\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.\,} missä γ μ {\displaystyle \gamma _{\mu }\,\!} ovat Diracin matriiseja . ψ {\displaystyle \ \psi } ja sen Diracin adjointti ψ ¯ {\displaystyle {\bar {\psi }}} ovat kenttiä , jotka esittävät sähköisesti varattuja hiukkasia, erityisesti elektronin ja positronin kentät esitetään Diracin spinoreina . D μ = ∂ μ + i e A μ {\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+ieA_{\mu }\,\!} on mittakovariantti derivaatta , missä e {\displaystyle \ e} on kytkennän voimakkuus (sama kuin alkeisvaraus ), A μ {\displaystyle \ A_{\mu }} on sähkömagneettisen kentän kovariantti nelipotentiaali ja F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,\!} on sähkömagneettisen kentän tensori. Laita D Lagrangen tiheyteen nähdäksesi, että L on
L = i ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ − e ψ ¯ γ μ A μ ψ − m ψ ¯ ψ − 1 4 F μ ν F μ ν . ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.\quad \quad (1)\,} Tämä Lagrangen tiheys voidaan laittaa Eulerin-Lagrangen yhtälöön
∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ ψ ) ) − ∂ L ∂ ψ = 0. ( 2 ) {\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.\quad \quad \quad \quad \quad (2)\,} jotta löydetään QED:n kenttäyhtälöt.
Nämä kenttäyhtälöt ovat
∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ ψ ) ) = ∂ μ ( i ψ ¯ γ μ ) {\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)=\partial _{\mu }\left(i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\right)\,} ∂ L ∂ ψ = − e ψ ¯ γ μ A μ − m ψ ¯ {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }-m{\bar {\psi }}\,} Laittamalla nämä kaksi takaisin Eulerin-Lagrangen yhtälöön (2), jolloin saadaan
i ∂ μ ψ ¯ γ μ + e ψ ¯ γ μ A μ + m ψ ¯ = 0 {\displaystyle i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }+e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }+m{\bar {\psi }}=0\,} ja kompleksikonjugaatti
i γ μ ∂ μ ψ − e γ μ A μ ψ − m ψ = 0. {\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -m\psi =0.\,} Jos keskimmäinen termi laitetaan oikealle puolelle, saadaan:
i γ μ ∂ μ ψ − m ψ = e γ μ A μ ψ {\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi =e\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi \,}
Vasemmanpuoleinen on kuten alkuperäinen Diracin yhtälö ja oikeanpuoleinen on vuorovaikutus sähkömagneettisen kentän kanssa.
Yksi tärkeä yhtälö saadaan laittamalla Lagrangen tiheys Eulerin-Lagrangen yhtälöön, tällä kertaa kentälle A μ {\displaystyle A^{\mu }} :
∂ ν ( ∂ L ∂ ( ∂ ν A μ ) ) − ∂ L ∂ A μ = 0. ( 3 ) {\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0.\quad \quad \quad (3)\,} Tällä kertaa kaksi termiä ovat
∂ ν ( ∂ L ∂ ( ∂ ν A μ ) ) = ∂ ν ( ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ) {\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\,} ∂ L ∂ A μ = − e ψ ¯ γ μ ψ {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,} Nämä termit laittamalla takaisin yhtälöön (3) saadaan
∂ ν F ν μ = e ψ ¯ γ μ ψ {\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,}