Équation de Burgers

En notant u la vitesse, et ν le coefficient de viscosité cinématique, la forme générale de l'équation de Burgers est^[4] :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$ .

Quand ν = 0, l'équation de Burgers devient l'équation de Burgers sans viscosité :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$ ,

La matrice jacobienne de cette équation se réduit à la quantité scalaire u, valeur réelle. Il s'agit donc d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique. Elle peut donc comporter des discontinuités (ondes de choc).

La forme conservative de cette équation est :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(u^{2}\right)=0}$

On cherche une ligne caractéristique [x(s), t(s)] le long de laquelle l'équation de Burgers se réduit à une équation différentielle ordinaire. Calculons la dérivée de ν le long d'une telle courbe :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} u[x(s),t(s)]}{\mathrm {d} s}}&=0\\[1em]&=&{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} s}}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}{\frac {\partial u}{\partial x}}\end{aligned}}}$

On identifie l'équation de Burgers en faisant (on suppose t(0) = 0):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} s}}=1\qquad \Rightarrow \qquad t(s)=s}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}=u\qquad \Rightarrow \qquad x(s)=x_{0}+us=x_{0}+ut}$

Les caractéristiques dans le plan (x,t) sont des droites de pente ν le long desquelles la solution est constante.

La valeur en un point (x_c,t_c) s'obtient en "remontant" la caractéristique jusqu'à son origine x₀ = x_c – ut_c. Cette valeur est u = u(x₀).

On peut donner une solution générale sous la forme

${\displaystyle u(x,t)=f(w)}$

où f est une fonction quelconque de la variable w = x–ut.

On note ${\displaystyle f'={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} w}}}$

Si on reporte dans l'équation de Burgers il vient :

${\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\left(1+tf'\right)=0}$

f est donc solution sauf si le second terme de l'équation s'annule.

La dérivée de u s'écrit :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}={\frac {f'}{1+tf'}}}$

La fonction u devient singulière pour 1 + tf' = 0, point d'intersection des caractéristiques. Au-delà la solution régulière de l'équation n'a plus de sens physique puisque la solution est multivaluée.

Intégrons l'équation sous forme conservative de a à b :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{a}^{b}u\mathrm {d} x={\frac {u_{a}^{2}}{2}}-{\frac {u_{b}^{2}}{2}}\;\;\;\forall a,b}$

Si u s'annule à deux bornes finies (problème périodique) ou infinies alors :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{a}^{b}u\mathrm {d} x=0}$

Dans un système fermé la quantité ${\displaystyle \int u\mathrm {d} x}$ est conservée au cours du temps.

Pour un système d'équations hyperbolique écrit sous la forme

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial g(u)}{\partial x}}=0}$

la vitesse de propagation d'un choc est donné par l'équation de Rankine-Hugoniot

${\displaystyle c={\frac {\Delta g}{\Delta u}}}$

Dans notre cas ${\displaystyle g={\frac {u^{2}}{2}}}$ , d'où

${\displaystyle c={\frac {{\frac {u_{G}^{2}}{2}}-{\frac {u_{D}^{2}}{2}}}{u_{G}-u_{D}}}={\frac {u_{G}+u_{D}}{2}}}$

où u_G et u_D sont les vitesses de part et d'autre du choc.

On peut transformer cette équation en utilisant la transformation de Hopf-Cole^[5],[6] :

${\displaystyle u=-{\frac {2\nu }{\phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$

En portant dans l'équation il vient :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\nu }{\phi }}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}\right)}$

Par intégration par rapport à x il s'introduit une "constante" d'intégration fonction du temps que l'on note g(t), déterminée par les conditions aux limites :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+g(t)\phi }$

Le nouveau changement de variable ψ = ϕ exp(∫g dt) permet d'écrire :

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}}$

On obtient une équation de diffusion analogue à l'équation de la chaleur pour laquelle il existe des solutions analytiques.