Ensemble transitif

Un ensemble X est dit transitif si

tout élément y d’un élément x de X est lui-même élément de X

c'est-à-dire si

tout élément x de X est un sous-ensemble de X (en notant « ⊂ » l'inclusion au sens large) :

∀ x (x ∈ X ⇒ x ⊂ X)

ce qui revient à (en notant ∪X l'union des éléments de X) :

∪X ⊂ X.

On parle également de classe transitive, avec la même définition : tout ensemble élément de la classe est également une partie de celle-ci.

L'ensemble vide ∅ et le singleton {∅} sont des ensembles transitifs.

Les entiers de von Neumann sont des ensembles transitifs :

${\displaystyle 0=\varnothing }$ , ${\displaystyle 1=\left\{0\right\}}$ , ${\displaystyle 2=\left\{0,1\right\}}$ , ${\displaystyle 3=\left\{0,1,2\right\}}$ , ${\displaystyle 4=\left\{0,1,2,3\right\}}$ , … , ${\displaystyle n+1=n\cup \left\{n\right\}}$ , ...

Par exemple, pour l’ordinal ${\displaystyle 2}$ , on a ${\displaystyle 1\in 2}$ et ${\displaystyle 1\subset 2}$ .En effet ${\displaystyle 1\in \left\{0,1\right\}}$ et ${\displaystyle \left\{0\right\}\subset \left\{0,1\right\}}$ .

De façon plus générale, les ordinaux de von Neumann, dont les entiers précédents sont les premiers éléments, sont aussi des ensembles transitifs. On peut d'ailleurs les définir comme les ensembles transitifs sur laquelle l'appartenance définit une relation d'ordre strict dont l'ordre large associé est un bon ordre. La classe de tous les ordinaux est une classe transitive : les éléments d'un ordinal sont des ordinaux.

Par transitivité l'appartenance entre deux ordinaux entraîne l'inclusion. On démontre que la relation d'inclusion sur les ordinaux est en fait la relation d'ordre large associée à l'appartenance (« appartient ou égal »).

On montre dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) que pour tout ensemble X, il existe un unique ensemble transitif Y contenant X et contenu dans tout ensemble transitif contenant X. On l'appelle la clôture transitive de X.

Par exemple, avec les notations ordinales ci-dessus :

• si n ≠ 0, le singleton {n} n'est pas transitif. Sa clôture transitive est n + 1 ;
• la clôture transitive du singleton { {1} } est l'ensemble {0, 1, {1} }.

La clôture transitive peut se définir par récurrence sur les entiers naturels^[1], qui sont représentés par les entiers de von Neumann dans le cadre ensembliste :

Y₀ = X ; Y_n+1 = ∪Y_n ; Y = ∪_{n ∈ ω}Y_n où ∪A désigne la réunion des éléments de A, et ω l'ensemble des entiers de von Neumann.

Cette définition utilise en particulier l'axiome de l'infini (existence de l'ensemble ω) et le schéma d'axiomes de remplacement (pour que la suite des Y_n soit bien une fonction, au sens ensembliste, définie sur ω).

• L'ensemble Y est bien transitif : si x ∈ Y, alors pour un certain entier n, x ∈ Y_n et donc, par construction de Y_n+1, x ⊂ Y_n+1.
• Par récurrence sur l'entier n, tout ensemble transitif contenant X contient Y_n.

Dans ZF (le remplacement est utilisé comme ci-dessus), on définit par induction sur les entiers naturels (P(A) désigne l'ensemble des parties de A) :

V₀ = ∅ ; V_n+1 = P(V_n)

et l'on pose V_ω = ∪_{n ∈ ω} V_n.

Les V_n pour n entier, sont des ensembles transitifs de même que leur réunion V_ω. On peut généraliser cette construction par induction sur la classe de tous les ordinaux pour obtenir une classe transitive V. Dans un modèle de ZFC, on montre^[2] que V_ω définit un ensemble qui, muni de la relation d'appartenance retreinte à V_ω, est modèle de tous les axiomes de ZFC sauf l'axiome de l'infini. Celui-ci n'est donc pas conséquence des autres axiomes. De façon analogue, la classe V définit, dans un modèle de ZFC sans axiome de fondation, un modèle de ZFC avec axiome de fondation.

De façon générale, un ensemble transitif, muni de la relation d'appartenance restreinte à cet ensemble, vérifie l'axiome d'extensionnalité. De même pour une classe transitive.