Forme bilinéaire non dégénérée
En mathématiques, une forme bilinéaire non dégénérée est une forme bilinéaire telle que le seul vecteur orthogonal, à gauche ou à droite, de tous les vecteurs selon cette forme est le vecteur nul {0}.
Par exemple, un produit scalaire est un cas particulier de forme bilinéaire non dégénérée.
Définitions
Soient K un corps, E un K-espace vectoriel à gauche, F un K-espace vectoriel à droite et f une forme bilinéaire sur E×F.
- On dit que f est dégénérée à droite (resp. à gauche) s'il existe un élément non nul
de F (resp.
de E) tel que
pour tout
(resp.
pour tout
).
- On appelle espace singulier à droite le sous-espace suivant de F :
- On définit de même l'espace singulier à gauche
- On dit que f est non dégénérée si elle est non dégénérée à droite et à gauche.
Propriétés
- Pour un vecteur x de E, notons
la fonction partielle de f qui à
associe
. C'est une forme linéaire sur F, donc un élément du dual algébrique F* (qui est, comme E, un K-espace vectoriel à gauche). De plus, l'application
de E dans F* qui à
associe
est linéaire. Par construction,
- Si E et F sont de dimension finie,
si et seulement si
, et cela équivaut à dire que f est non dégénérée.
- Lorsque E est un espace vectoriel réel, toute forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur E×E est définie (c'est donc un produit scalaire). C'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les formes bilinéaires positives.
Références
- J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse, Cours de mathématiques 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie, Dunod, 1990
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, vol. II : Algèbre, Chapitre 9, Berlin, Hermann, (réimpr. 2007), 205 p. (ISBN 978-3-540-35338-6, présentation en ligne)
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