Forme différentielle fermée

En dimension n, une 1-forme

${\displaystyle \omega (u)=a_{1}(u)\mathrm {d} x_{1}+...+a_{n}(u)\mathrm {d} x_{n}}$

est fermée si

${\displaystyle \forall i<j\leq n\quad {\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}=0.}$

Il y a donc n(n – 1)/2 conditions à satisfaire.

• En dimension 1, une 1-forme dérivable${\displaystyle \omega =A(x)\mathrm {d} x}$ est toujours fermée.
• En dimension 2, une 1-forme${\displaystyle \omega =A(x,y)\mathrm {d} x+B(x,y)\mathrm {d} y}$ est fermée si${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}.}$
• En dimension 3, une 1-forme${\displaystyle \omega =A(x,y,z)\mathrm {d} x+B(x,y,z)\mathrm {d} y+C(x,y,z)\mathrm {d} z}$ est fermée si${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}}$   ;   ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}}$   ;   ${\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z},}$ ce qui correspond à${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,\Omega =\mathbf {0} }$ avec${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}A\\B\\C\end{pmatrix}}.}$

• Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions]
• Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]

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