Intégrabilité

Au sens de Riemann, une fonction ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ possède une intégrale finie si et seulement si elle est intégrable, c'est-à-dire, si et seulement si ${\displaystyle \vert f\vert }$ possède une intégrale finie aussi^[1]. En réalité, dans la définition de l'intégrale au sens de Riemann, il est fréquent que la Riemann-intégrabilité soit définie comme le fait d'avoir une intégrale finie.

Pour les intégrales de Riemann généralisées à un intervalle quelconque, cette équivalence n'est plus vérifiée. Si ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$ possède une intégrale finie (au sens des intégrales impropres de Riemann) alors il n'est pas forcément vrai que ${\displaystyle \vert f\vert }$ possède une intégrale finie aussi. En revanche le fait que ${\textstyle \int _{I}|f|}$ existe et est finie implique toujours que ${\textstyle \int _{I}f}$ existe et est finie.

• Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé^[2]. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
• Une combinaison linéaire de fonctions intégrables est intégrable, et ce, sur un intervalle quelconque.
• Si ${\displaystyle f,g:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$ sont intégrables sur l'intervalle fermé ${\displaystyle [a,b]}$ alors^[3]

1. Pour tout ${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$ continue, la composée ${\displaystyle \Phi \circ f}$ est intégrable sur ${\displaystyle [a,b]}$ .
2. Le produit ${\displaystyle fg}$ est intégrable sur ${\displaystyle [a,b]}$ .
3. Le minimum ${\displaystyle \min(f,g)}$ est intégrable sur ${\displaystyle [a,b]}$ .
4. Le maximum ${\displaystyle \max(f,g)}$ est intégrable sur ${\displaystyle [a,b]}$ .

• Si ${\displaystyle f,g:\left[a,b\right[\longrightarrow \mathbb {R} _{+}}$ sont positives, localement intégrables et que de plus ${\displaystyle f(x)=O(g(x))}$ quand ${\displaystyle x\to b}$ alors l'intégrabilité de ${\displaystyle g}$ sur ${\displaystyle [a,b[}$ entraîne celle de ${\displaystyle f}$ ^[4],[5]. On remarquera que ${\displaystyle f(x)=O(g(x))}$ est vérifié si par exemple ${\displaystyle 0\leq f\leq g}$ ou ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ quand ${\displaystyle x\to b}$ .
• Soit ${\displaystyle I}$ un intervalle d'intérieur non vide dont les extrémités gauches et droites sont notées ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ . Supposons que ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont finies. Si ${\displaystyle f:I\longrightarrow \mathbb {R} }$ est localement intégrable et a des limites finies en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ alors ${\displaystyle f}$ est intégrable sur ${\displaystyle I}$ ^[6].

• La fonction indicatrice des rationnels n'est intégrable sur aucun intervalle d'intérieur non vide.
• La fonction ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$ définie par ${\displaystyle f(0)=0}$ et ${\displaystyle f(x)=1/{\sqrt {x}}}$ pour tout ${\displaystyle x\in \left]0,1\right]}$ n'est pas intégrable sur ${\displaystyle [0,1]}$ (au sens de Riemann), car elle n'y est même pas bornée, en revanche, elle est intégrable sur ${\displaystyle ]0,1]}$ (au sens impropre de Riemann) car ${\textstyle \int _{x}^{1}t^{-1/2}dt}$ converge lorsque x tend vers 0^[7].
• La fonction ${\displaystyle f:x\mapsto \sin(x)/x}$ n'est pas intégrable sur ${\displaystyle ]0,+\infty [}$ alors qu'elle y admet une intégrale impropre convergente (cette intégrale s'appelle l'intégrale de Dirichlet).
• Critère de Riemann : la fonction ${\displaystyle x\mapsto x^{-\alpha }}$ est intégrable sur ${\displaystyle ]0,1]}$ si et seulement si ${\displaystyle \alpha <1}$ . Cette même fonction est intégrable sur ${\displaystyle [1,+\infty [}$ si et seulement si ${\displaystyle \alpha >1}$ .
• Critère de Bertrand : la fonction ${\displaystyle x\mapsto x^{-\alpha }\ln(x)^{-\beta }}$ est intégrable sur ${\displaystyle ]0,e^{-1}]}$ si et seulement si ${\displaystyle \alpha <1}$ ou (${\displaystyle \alpha =1}$ et ${\displaystyle \beta >1}$ ). Cette même fonction est intégrable sur ${\displaystyle [e,+\infty [}$ si et seulement si ${\displaystyle \alpha >1}$ ou (${\displaystyle \alpha =1}$ et ${\displaystyle \beta >1}$ ).

Soient (X, 𝒜, μ) un espace mesuré et f une fonction sur X, à valeurs dans ℝ ou ℂ et 𝒜-mesurable. On dit que f est Lebesgue-intégrable sur X si

${\displaystyle \int _{X}|f(x)|~\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .}$

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