Modèle booléen (probabilités)

Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(d)}}$ l'ensemble des sous-ensembles compactes et non vides de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ . On notera que ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(d)}}$ équipé de la distance de Hausdorff est un espace métrique séparable et complet. On note ${\displaystyle {{\mathcal {B}}({\mathcal {C}}^{(d)})}}$ la tribu borélienne associée.

Soit ℚ une mesure de probabilité sur ${\displaystyle {({\mathcal {C}}^{(d)},{\mathcal {B}}({\mathcal {C}}^{(d)}))}}$ et soit ${\displaystyle {\xi =\sum _{n=1}^{\infty }\delta _{(X_{n},Z_{n})}}}$ un processus ponctuel de Poisson marqué d'intensité ${\displaystyle \lambda }$ dont les marques sont induites par la probabilité ℚ. Alors, ${\displaystyle {Z:=\cup _{n=1}^{\infty }(X_{n}+Z_{n})}}$ est un modèle booléen d'intensité ${\displaystyle \lambda }$ et avec les grains de distributions ℚ^[1].