Nombre cubique centré

Nous suivons ici la référence^[1], où le nombre de points par arête est égal à ${\displaystyle n}$ .

Le cube ayant 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes, la couche cubique ajoutée à l'étape ${\displaystyle n+1}$ possède ${\displaystyle 6((n+1)^{2}-4n)}$ points correspondants aux intérieurs des faces, plus ${\displaystyle 12(n-1)}$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus 8 points situés aux sommets.

On obtient ${\displaystyle CC_{n+1}-CC_{n}=6(n-1)^{2}+12(n-1)+8=6n^{2}+2}$ , d'où ${\displaystyle CC_{n}=1+\sum _{i=1}^{n-1}(6i^{2}+2)=1+n(n-1)(2n-1)+2(n-1)=(2n-1)(n^{2}-n+1)=n^{3}+(n-1)^{3}}$ .

Les nombres cubiques centrés sont aussi les nombres pyramidaux heptagonaux centrés (autour du centre de la pyramide heptagonale).

Si, comme pour les nombres dodécaédriques centrés par exemple, on considère des faces centrées, il faut remplacer le terme ${\displaystyle 6((n+1)^{2}-4n)}$ par ${\displaystyle 6((n+1)^{2}+n^{2}-4n)}$ et l'on obtient ${\displaystyle CC'_{n+1}-CC'_{n}=12n^{2}+2}$ , ce qui donne ${\displaystyle CC'_{n}=(2n-1)(2n^{2}-2n+1)=n^{4}-(n-1)^{4}}$ .

Par exemple ${\displaystyle CC'_{2}=15}$ car il y a 8 points aux sommets, 6 points aux centres des faces et 1 point au centre du cube.

Les dix premiers de ces nombres sont : 1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439 ; voir la suite A005917 de l'OEIS.

Ces nombres sont les nombres dodécaédriques rhombiques à faces centrées étudiés ci-dessous, ainsi que les nombres octaédriques centrés à faces centrées.

Comme pour l'obtention des nombres polygonaux étoilés, on peut adjoindre 6 nombres pyramidaux carrés ${\displaystyle P_{n-1}^{(4)}}$ aux 6 "faces" du nombre cubique centré ${\displaystyle CC_{n}}$ , ce qui donne le nombre :${\displaystyle (2n-1)(n^{2}-n+1)+n(n-1)(2n-1)=(2n-1)(2n^{2}-2n+1)=n^{4}-(n-1)^{4}}$ , appelé "nombre dodécaédrique rhombique" (le dodécaèdre rhombique étant obtenu par adjonction de 6 pyramides à un cube)^[1]. On retrouve les nombres précédents.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered cube number » (voir la liste des auteurs).