Nombre premier cubain

Le premier de ces systèmes d'équations est^[2],[3] :

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},~}$ avec ${\displaystyle \ x=y+1~}$ et ${\displaystyle \ y>0,}$

ce qui équivaut à :

${\displaystyle p=(y+1)^{3}-y^{3}={\frac {3(2y+1)^{2}+1}{4}}=3y^{2}+3y+1,~}$ avec ${\displaystyle \ y>0.}$

Ceci est la forme générale exacte d'un nombre hexagonal centré (avec indexation commençant à C_6,1 = 7, pas à C_6,1 = 1) ; c'est-à-dire que tous les nombres premiers cubains de la première espèce sont des nombres hexagonaux centrés.

Les nombres premiers cubains provenant de cette première équation forment la suite A002407 de l'OEIS : 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, etc.

En janvier 2006^[4], le plus grand nombre premier cubain de la première espèce comportait 65 537 chiffres et correspondait à y = 100 000 845^{4 096}.

Le second de ces systèmes d'équations est^[3] :

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},~}$ avec ${\displaystyle \ x=y+2~}$ et ${\displaystyle \ y>0,}$

ce qui équivaut à :

${\displaystyle p={\frac {(y+2)^{3}-y^{3}}{2}}=3(y+1)^{2}+1=3y^{2}+6y+4,~}$ avec ${\displaystyle \ y>0.}$

Les nombres premiers cubains provenant de cette seconde équation forment la suite A002648 de l'OEIS : 13, 109, 193, 433, 769, 1201, etc.