Objet exponentiel

Soit C une catégorie avec produits et soient Y et Z des objets de C. L'objet exponentiel Z^Y peut être défini comme un morphisme universel du foncteur –×Y à Z. (Le foncteur –×Y de C dans C envoie l'objet X sur X×Y et le morphisme φ sur φ×id_Y).

Explicitement, un objet Z^Y avec un morphisme${\displaystyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\rightarrow Z}$ est un objet exponentiel si pour tout objet X et tout morphisme g : (X×Y) → Z il existe un unique morphisme${\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ tel que le diagramme suivant commute :

Si l'objet exponentiel Z^Y existe pour tous les objets Z dans C, alors le foncteur qui envoie Z sur Z^Y est un adjoint à droite du foncteur –×Y. Dans ce cas, il y a une bijection naturelle entre les ensembles des morphismes

${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y}).}$

Les morphismes ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle \lambda g}$ sont parfois appelés adjoints exponentiels^[1].

On remarque que pour ${\displaystyle A,B}$ dans la catégorie des ensembles, ${\displaystyle A^{B}=\mathrm {Hom} (B,A)}$ ^[2].

• Dans la catégorie des ensembles, l'objet exponentiel ${\displaystyle Z^{Y}}$ est l'ensemble de toutes les applications de ${\displaystyle Y}$ dans ${\displaystyle Z}$ . L'application ${\displaystyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ est l'application évaluation qui envoie la paire (f, y) sur f(y). Pour toute application ${\displaystyle g\colon (X\times Y)\rightarrow Z}$ , l'application ${\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ est la forme curryfiée de g :

${\displaystyle \lambda g(x)(y)=g(x,y).}$

• Dans la catégorie des espaces topologiques, l'objet exponentiel Z^Y existe si Y est un espace localement compact. Dans ce cas, l'espace Z^Y est l'ensemble de toutes les applications continues de Y dans Z muni de la topologie compacte-ouverte. L'application évaluation est la même que pour la catégorie des ensembles. Si Y n'est pas localement compact, l'objet exponentiel peut ne pas exister (l'espace Z^Y existe toujours mais n'est pas forcément un objet exponentiel car l'évaluation peut ne pas être continue). Pour cette raison, la catégorie des espaces topologique n'est pas cartésienne fermée.

• (en) Jiří Adámek, Horst Herrlich et George Strecker, Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats), John Wiley & Sons, 2006 (1^re éd. 1990) (lire en ligne)