Segment circulaire

En géométrie, un segment circulaire est une partie d'un disque intuitivement définie comme un domaine qui est « coupé » du reste du disque par une corde (droite sécante). Le segment circulaire constitue donc la partie entre la droite sécante et un arc.

Soient (voir figure) :

$R$ le rayon du cercle ;
$\theta$ l'angle en radians du secteur circulaire ;
$s$ la longueur de l'arc ;
$c$ la longueur de la corde ;
$h$ la hauteur du segment ;
$d$ la hauteur de la portion triangulaire.

Alors :

la longueur de l'arc est $s=R\theta$ ;
la longueur de la corde est $c=2R\sin(\theta /2)=2d\tan(\theta /2)=2{\sqrt {R^{2}-d^{2}}}=2{\sqrt {2hR-h^{2}}}$ ;
la hauteur de la portion triangulaire est $d=R\cos(\theta /2)={\frac {c}{2}}\cot(\theta /2)={\frac {1}{2}}{\sqrt {4R^{2}-c^{2}}}$ ;
la hauteur (ou flèche) est $h=R-d=R\left(1-\cos(\theta /2)\right)$ ;
l'aire est $A={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)$ .

Démonstration de la formule de l'aire

L'aire totale de la portion de disque vaut $S={\frac {\theta }{2}}R^{2}$ . Elle peut également s'exprimer comme la somme de deux aires : celle, $A$ , du segment circulaire (en vert) et celle, $A_{1}$ , du triangle constituant l'autre partie. On a donc :

A=S-A_{1}

.

L'aire du triangle vaut :

A_{1}={\frac {1}{2}}\times {\textrm {base}}\times {\textrm {hauteur}}={\frac {1}{2}}\times c\times d={\frac {1}{2}}\times 2R\sin(\theta /2)\times R\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\times 2\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }

,

du fait des formules de l'angle double.

Finalement, on trouve : $A=S-A_{1}={\frac {\theta }{2}}R^{2}-{\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }={\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin {\theta })$ .

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Circular Segment », sur MathWorld

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