Sous-groupe maximal d'un groupe

• D'après la formule des indices, tout sous-groupe d'indice fini premier est un sous-groupe maximal.
• On sait que le groupe alterné A₄ est un groupe d'ordre 12 qui n'a pas de sous-groupe d'ordre 6^[2] ; un sous-groupe d'ordre 3 de A₄ (il en existe évidemment) est donc un sous-groupe maximal d'indice 4 (non premier).

• Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupes propres et n'a donc pas de sous-groupes maximaux.
• Tout sous-groupe propre d'un groupe fini (ou plus généralement : tout sous-groupe propre H d'indice fini d'un groupe G) est contenu dans au moins un sous-groupe maximal.
  (Parmi les sous-groupes propres d'indice fini de G qui contiennent H, en considérer un dont l'indice est le plus petit possible.)
• En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe maximal.
  (Dans ce qui précède, faire H = 1.)
• Plus généralement, dans tout groupe de type fini, tout sous-groupe propre est contenu dans au moins un sous-groupe maximal^[3].
  Justification. Soit G un groupe de type fini et H un sous-groupe propre de G. Désignons par E l'ensemble des sous-groupes propres de G contenant H et prouvons que E, ordonné par inclusion, est inductif. Il comprend H et n'est donc pas vide. Il suffit donc de prouver que la réunion U d'un ensemble non vide X, totalement ordonné par inclusion, de sous-groupes propres de G contenant H est elle-même un sous-groupe propre de G contenant H. On montre facilement que cette réunion est un sous-groupe de G contenant H. L'essentiel est donc de prouver que cette réunion n'est pas égale à G tout entier. Choisissons une partie finie {x₁, ... , x_n} de G engendrant G. Il suffit de prouver que U ne comprend pas tous les x_i. Dans le cas contraire, il existerait dans X un sous-groupe H₁ comprenant x₁, ... , un sous-groupe H_n comprenant x_n. Puisque l'ensemble X est totalement ordonné par inclusion, un de ces n sous-groupes contiendrait à la fois x₁, ... et x_n, donc serait égal à G tout entier, contradiction. Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que l'ensemble E des sous-groupes propres de G contenant H, ordonné par inclusion, est inductif. D'après le lemme de Zorn, il admet donc un élément maximal et il est clair qu'un tel élément maximal est un sous-groupe maximal de G qui contient H.
• Si un sous-groupe maximal est normal, son indice est fini et premier^[4].
  En effet, si un sous-groupe normal M de G est sous-groupe maximal de G, alors, d'après le théorème de correspondance, le groupe G/M est non trivial (par « trivial », on entend ici réduit à l'élément neutre) et ne possède pas de sous-groupe autre que lui-même et son sous-groupe trivial, donc G/M est d'ordre fini et premier.
• Puisque tout sous-groupe d'un groupe abélien est normal, il résulte du fait précédent que tout sous-groupe maximal d'un groupe abélien est d'indice fini et premier.

On montre facilement que le seul sous-groupe d'indice fini du groupe additif Q des nombres rationnels est Q lui-même. (Soit G un sous-groupe d'indice fini de Q, soit n l'indice de G dans Q. Alors, pour tout x dans Q, nx appartient à G. Mais tout nombre rationnel est de la forme nx pour un certain nombre rationnel x, donc G = Q.) Donc, d'après ce qui précède,

• Q n'a pas de sous-groupes maximaux^[5].
• Plus généralement, un groupe abélien est divisible si et seulement s'il n'a pas de sous-groupe maximal ou encore (d'après ce qui précède) pas de sous-groupe propre d'indice fini.
• On voit ainsi qu'un groupe infini peut ne pas avoir de sous-groupe maximal.

Un sous-groupe maximal n'est pas forcément normal (on a vu qu'un sous-groupe d'ordre 3 du groupe alterné A₄ est maximal, or un tel sous-groupe n'est pas normal), mais on prouve que dans tout groupe nilpotent, tout sous-groupe maximal est normal^[6].

Un exemple d'usage de la notion de sous-groupe maximal est le théorème suivant : une opération transitive d'un groupe G sur un ensemble X d'au moins deux éléments est primitive si et seulement si, pour tout élément x de X, le stabilisateur de x est un sous-groupe maximal de G^[7].

Groupe super-résoluble

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