Théorème du sandwich au jambon
En mathématiques, le théorème du sandwich au jambon, ou théorème de Stone-Tukey, s'exprime, de façon imagée, comme la possibilité de couper en quantités égales, d'un seul coup de couteau, le jambon, le fromage et le pain d'un sandwich[1]. Il se formalise et se généralise en dimension quelconque.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Th%C3%A9or%C3%A8me-du-sandwich.jpg/220px-Th%C3%A9or%C3%A8me-du-sandwich.jpg)
Énoncé
Étant donné n parties[2] Lebesgue-mesurables et de mesures finies d'un espace euclidien de dimension n, il existe au moins un hyperplan affine divisant chaque partie en deux sous-ensembles de mesures égales[1].
Historique
Le théorème est parfois appelé théorème de Stone-Tukey, d'après Arthur Stone et John Tukey[3]. Hugo Steinhaus avait conjecturé ce théorème dans le Livre écossais. Il a été aussitôt démontré en 1938 par Stefan Banach à l'aide du théorème de Borsuk-Ulam[4].
Démonstration
Soient les n parties de
, de mesures finies
, que l'on souhaite couper en deux parties d'égale mesure (en dimension n = 3, la figure illustre la preuve avec, pour
, des solides de Platon en orange et rouge, la solution est ici le plan défini par les trois centres).
Ayant fixé un vecteur de la sphère
, on considère, pour tout réel
, l'hyperplan affine orthogonal à
passant par
, et le demi-espace délimité par cet hyperplan et contenant
. Le volume
de l'intersection de
et de ce demi-espace est une fonction continue de
et vérifie :
Comme de plus est une fonction décroissante de
, qui tend vers 0 quand
tend vers
et vers
quand
tend vers
, l'ensemble des réels
tels que
est un segment non vide
qui vérifie
. Son milieu
est donc une fonction continue impaire de
vérifiant
pour toute direction
.
Par composition, la fonction
est également continue. On peut donc lui appliquer le théorème de Borsuk-Ulam, ce qui fournit une direction telle que
. Pour un tel
, l'hyperplan orthogonal à
et passant par
coupe les
pour
en deux morceaux de même mesure car
Ainsi, est vrai pour
par choix de
et pour
par définition de
.
Notes et références
Lien externe
(en) Ham sandwich theorem and a proof, sur PlanetMath