En 2011, Théry Schir devient champion d'Europe de course à l'américaine chez les juniors, avec Stefan Küng. Lors de ces championnats, il décroche la médaille d'argent sur la course aux points. La même année, il est champion de Suisse de poursuite par équipes, avec Olivier Beer, Damien Corthésy et Cyrille Thièry. L'année suivante, il devient champion de Suisse de course à l'américaine avec Thièry et obtient deux médailles d'argent aux championnats d'Europe espoirs (moins de 23 ans), sur la poursuite par équipes et la course scratch. En 2013, lors des championnats d'Europe espoirs, il gagne trois médailles, dont le titre en poursuite par équipes. Il conserve son titre avec le quatuor espoir suisse en 2014.
Lors des mondiaux de Cali en 2014, il décroche la médaille de bronze sur l'américaine avec Stefan Küng. Il s'agit de sa seule médaille mondiale. En 2015, pour son dernier championnat d'Europe espoirs, il est médaillé d'or sur l'américaine et l'omnium, ainsi que médaillé d'argent de la poursuite par équipes.
En 2016, il est sélectionné pour participer aux Jeux olympiques de Rio de Janeiro, où il termine septième de la poursuite par équipe avec Olivier Beer, Cyrille Thièry et Silvan Dillier. En 2018, il devient vice-champion d'Europe de poursuite par équipes à Glasgow, aux côtés de Cyrille Thièry, Frank Pasche, Stefan Bissegger et Claudio Imhof.
Aux Jeux européens de Minsk en 2019, il remporte deux médailles : l'argent sur l'omnium et le bronze en poursuite par équipes (avec Robin Froidevaux, Lukas Rüegg et Claudio Imhof). Dans la course sur route, il termine onzième. Fin 2021, après deux septièmes places aux Jeux olympiques de Tokyo, il met un terme à sa carrière cycliste.
En juin 2022, il est choisi comme l'un des 14 marins à composer l'équipage d'Alinghi pour disputer la Coupe de l'America 2024, où il est censé pédaler pour produire de l’énergie[1].
