Utilisateur:Marteil2003/Rapport aire-volume

Dimension

Le rapport aire-volume à une dimension physique de L⁻¹ (longueur inverse), et s'exprime donc en unités de longueur inverse : m⁻¹, cm⁻¹ et d'autres.

Par exemple, un cube avec des arêtes de longueur 1 cm aura une aire de 6 cm² et un volume d'1 cm³. Son rapport aire-surface sera donc :

${\displaystyle {\mbox{SA:V}}={\frac {6~{\mbox{cm}}^{2}}{1~{\mbox{cm}}^{3}}}=6~{\mbox{cm}}^{-1}}$ .

Exemples mathématiques

Objet	Illustration	Longueur charatéristique ${\displaystyle a}$	Aire	Volume	Rapport aire-volume	Rapport pour un volume de 1
Tétraèdre régulier			${\displaystyle {\sqrt {3}}a^{2}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}a^{3}}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {6{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {14.697}{a}}}$	7,21
Cube		arête	${\displaystyle 6a^{2}}$	${\displaystyle a^{3}}$	${\displaystyle {\frac {6}{a}}}$	6
Octaèdre régulier			${\displaystyle 2{\sqrt {3}}a^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}}$	${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {7.348}{a}}}$	5,72
Dodécaèdre régulier			${\displaystyle 3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}}$	${\displaystyle {\frac {12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{(15+7{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {2.694}{a}}}$	5,31
Capsule		Diamètre	${\displaystyle 4\pi a^{2}+2\pi a*2a=8\pi a^{2}}$	${\displaystyle {\frac {4\pi a^{3}}{3}}+\pi a^{2}*2a={\frac {10\pi a^{3}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {12}{5a}}}$	5,251
Icosaèdre régulier			${\displaystyle 5{\sqrt {3}}a^{2}}$	${\displaystyle {\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}}$	${\displaystyle {\frac {12{\sqrt {3}}}{(3+{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {3.970}{a}}}$	5,148
Sphère		rayon	${\displaystyle 4\pi a^{2}}$	${\displaystyle {\frac {4\pi a^{3}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{a}}}$	4,83598

Tendances pour des valeurs de c croissantes

Étant donné que la surface d'un solide évolue avec le carré de sa longueur, mais que le volume de celui-ci augmente avec le cube de celle-ci, la volume à tendance à augmenter bien plus vite que la surface. Pour la valeur de c augmente, moins il y a d'aire par unité de volume. C'est pourquoi des objets ou des organismes de plus faible taille sont capables d'évacuer (globalement) mieux la chaleur, car celle-ci est prduite par la masse (ou le volume) de l'individu, mais son évacuation est lié à la surface du corps. Selon certaines théories, la taille des Pygmées seraient ainsi (partiellement) le fruit d'une adaptation génétique à la chaleur de leur milieu de vie^[1],[2].

Extension à des dimensions supérieures

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Biologie

^[3]

Chimie physique

Physique

Propagation des feux

Refroidissement planétaire

Notes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Surface-area-to-volume ratio » (voir la liste des auteurs).

Références