בהינתן רביעיית נקודות ( a , b , c , d ) {\displaystyle (a,b,c,d)} במישור (הממשי או המרוכב), היחס הכפול ביניהן מוגדר בנוסחה: ( a − c ) ( b − d ) ( a − d ) ( b − c ) {\displaystyle {\frac {(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}}} . שמו של היחס הכפול מגיע מכך שהוא מתאר את היחס בין היחס ( a − c ) ( a − d ) {\displaystyle {\frac {(a-c)}{(a-d)}}} ובין היחס ( b − c ) ( b − d ) {\displaystyle {\frac {(b-c)}{(b-d)}}} .
היחס הכפול הוא שמורה של העתקת מביוס ושל העתקות פרויקטיביות .
בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול, תמורות בין ארבע הנקודות ( a , b , c , d ) {\displaystyle (a,b,c,d)} יניבו לכל היותר שישה ערכים שונים של היחסים הכפולים ביניהן. למשל, אם נחליף את ( a , b , c , d ) {\displaystyle (a,b,c,d)} ב- ( b , a , d , c ) {\displaystyle (b,a,d,c)} נקבל את הביטוי ( b − d ) ( a − c ) ( b − c ) ( a − d ) {\displaystyle {\frac {(b-d)(a-c)}{(b-c)(a-d)}}} , השווה ליחס הכפול המקורי.
ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול λ {\displaystyle \lambda } , שינוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:
תמורה תיאור קצר ערכו של היחס הכפול ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})} תמורת הזהות λ {\displaystyle \lambda } ( z 1 , z 2 ; z 4 , z 3 ) {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{4},z_{3})} z 3 ↔ z 4 {\displaystyle z_{3}\leftrightarrow z_{4}} 1 λ {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}} ( z 1 , z 3 ; z 2 , z 4 ) {\displaystyle (z_{1},z_{3};z_{2},z_{4})} z 2 ↔ z 3 {\displaystyle z_{2}\leftrightarrow z_{3}} 1 − λ {\displaystyle 1-\lambda } ( z 1 , z 3 ; z 4 , z 2 ) {\displaystyle (z_{1},z_{3};z_{4},z_{2})} z 2 ← z 4 ← z 3 ← z 2 {\displaystyle z_{2}\leftarrow z_{4}\leftarrow z_{3}\leftarrow z_{2}} 1 1 − λ {\displaystyle {\frac {1}{1-\lambda }}} ( z 1 , z 4 ; z 3 , z 2 ) {\displaystyle (z_{1},z_{4};z_{3},z_{2})} z 2 ↔ z 4 {\displaystyle z_{2}\leftrightarrow z_{4}} λ λ − 1 {\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda -1}}} ( z 1 , z 4 ; z 2 , z 3 ) {\displaystyle (z_{1},z_{4};z_{2},z_{3})} z 2 ← z 3 ← z 4 ← z 2 {\displaystyle z_{2}\leftarrow z_{3}\leftarrow z_{4}\leftarrow z_{2}} λ − 1 λ {\displaystyle {\frac {\lambda -1}{\lambda }}}
היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית ליחס הכפול ישנה הגדרה שונה ושקולה בגאומטריה פרויקטיבית : יהיו a = ( a 0 a 1 ) , b = ( b 0 b 1 ) , c = ( c 0 c 1 ) , d = ( d 0 d 1 ) {\displaystyle a={\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}},\ b={\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\end{pmatrix}},\ c={\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}},\ d={\begin{pmatrix}d_{0}\\d_{1}\end{pmatrix}}} ארבע נקודות על הישר הפרויקטיבי. כן תהיה T {\displaystyle T} העתקה פרויקטיבית המקיימת T ( a ) = ∞ {\displaystyle T(a)=\infty } , T ( b ) = 0 {\displaystyle T(b)=0} ו־ T ( c ) = 1 {\displaystyle T(c)=1} . היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית מוגדר להיות T ( d ) {\displaystyle T(d)} .
הוכחת השקילות מהיות a , b , c {\displaystyle a,b,c} שלוש נקודות בעלות שתי דרגות חופש, ניתן לבטא את c {\displaystyle c} כצירוף ליניארי: c = α a + β b {\displaystyle c=\alpha a+\beta b} . אולם, מכיוון שנקודות על הישר הפרויקטיבי אינן משתנות תחת כפל בקבוע, נסמן מחדש a = α a {\displaystyle a=\alpha a} ו־ b = β b {\displaystyle b=\beta b} . כלומר, מתקיים T ( α a ) = ( 1 , 0 ) {\displaystyle T(\alpha a)=(1,0)} (נקודת האינסוף בקואורדינטות הומוגניות) וכן T ( β b ) = ( 0 , 1 ) {\displaystyle T(\beta b)=(0,1)} (נקודת האפס בקואורדינטות הומוגניות).
כמו את c {\displaystyle c} , ניתן לבטא גם את d {\displaystyle d} כצירוף ליניארי: d = γ a + δ b {\displaystyle d=\gamma a+\delta b} . מכך נובע:
T ( d ) = T ( γ α ( α a ) + δ β ( β b ) ) = γ α ( 1 , 0 ) + δ β ( 0 , 1 ) = ( γ α , δ β ) = ( γ β α δ , 1 ) {\displaystyle T(d)=T\left({\frac {\gamma }{\alpha }}(\alpha a)+{\frac {\delta }{\beta }}(\beta b)\right)={\frac {\gamma }{\alpha }}(1,0)+{\frac {\delta }{\beta }}(0,1)=\left({\frac {\gamma }{\alpha }},{\frac {\delta }{\beta }}\right)=\left({\frac {\gamma \beta }{\alpha \delta }},1\right)} באמצעות נוסחת קרמר ניתן לקבל ביטויים מפורשים למקדמים α, β, γ ו־δ, ומהם לקבל את השקילות בין שתי ההגדרות.
קישורים חיצוניים