נוסחת שלפלי

במקרה של מרחב היפרבולי תלת-ממדי ${\displaystyle H^{3}}$ , נוסחת שלפלי מקבלת את הצורה:

${\displaystyle K\cdot dV={\frac {1}{2}}\sum _{ij}l_{ij}d\alpha _{ij}}$ ,

כאשר K היא העקמומיות הקבועה של המרחב ההיפרבולי, ${\displaystyle l_{ij}}$ היא אורך הצלע שמחברת את הקודקוד i עם הקודקוד j, ו-${\displaystyle d\alpha _{ij}}$ הוא השינוי בזווית הדיהדרלית של הצלע ij. נוסחה זהה תקפה גם לגאומטריה כדורית (אלא שהעקמומיות K נעשית חיובית בגאומטריה זו). בעבור המקרה של גאומטריה לא אוקלידית בכל מספר שהוא של ממדים, הנוסחה היא^[4]:

${\displaystyle (n-1)K\cdot dV=\sum _{F}V_{n-2}(F)d\alpha _{F}}$

כאשר n הוא ממד המרחב, הסימון ${\displaystyle V_{n-2}(F)}$ מייצג את הנפח ה- n-2 ממדי של "צלע מוכללת" F, ו- ${\displaystyle d\alpha _{F}}$ הוא השינוי בזווית הדיהדרלית המוכללת - דהיינו הזווית בין שתי פאות n-1 ממדיות סמוכות שהחיתוך שלהן הוא לאורך הצלע המוכללת F. במקרה הדו-ממדי (n = 2) עם עקמומיות קבועה, נוסחת שלפלי שקולה למשפט גאוס-בונה^[5][6].