К понятию углового ускорения можно прийти, рассматривая вычисление ускорения точки твёрдого тела, совершающего свободное движение. Скорость точки тела при свободном движении, согласно формуле Эйлера, равна
где — скорость точки тела , принятой в качестве полюса; — псевдовектор угловой скорости тела; — вектор, выпущенный из полюса в точку, скорость которой вычисляется. Дифференцируя по времени данное выражение и используя формулу Ривальса[1], имеем
где — ускорение полюса ; — псевдовектор углового ускорения. Составляющая ускорения точки , вычисляемая через угловое ускорение называется вращательным ускорением точки вокруг полюса
Последнее слагаемое в полученной формуле, зависящее от угловой скорости, называют осестремительным ускорением ускорением точки вокруг полюса
Псевдовектор направлен по касательной к годографу угловой скорости. Действительно, рассмотрим два значения вектора угловой скорости, в момент времени и в момент времени . Оценим изменение угловой скорости за рассматриваемый промежуток времени
Отнесём это изменение к тому промежутку времени, за которое оно произошло
Получившийся вектор называется вектором среднего углового ускорения. Он занимает положение секущей, пересекая годограф вектора угловой скорости в точках и . Перейдём к пределу при
Вектор среднего углового ускорения перейдёт в вектор мгновенного углового ускорения и займёт положение касательной в точке к годографу угловой скорости.
Выражение вектора углового ускорения через параметры конечного поворота
При вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижные точки тела и , производные орта оси вращения равны нулю
В этом случае вектор углового ускорения определяется тривиально через вторую производную угла поворота
или
где — алгебраическая величина углового ускорения. В этом случае псевдовектор углового ускорения, как и угловая скорость, направлен вдоль оси вращения тела. Если первая и вторая производные угла поворота имеют одинаковый знак
(),
то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости совпадают по направлению (тело вращается ускоренно). В противном случае, при , векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в противоположные стороны (тело вращается замедленно).
В курсе теоретической механики традиционным является подход, при котором понятие угловой скорости и углового ускорения вводится при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. При этом в качестве закона движения рассматривается зависимость от времени угла поворота тела
В этом случае закон движения точки тела может быть выражен естественным способом, как длина дуги окружности, пройденная точкой при повороте тела от некоторого начального положения
где — расстояние от точки до оси вращения (радиус окружности, по которой движется точка). Дифференцируя последнее соотношение по времени получаем алгебраическую скорость точки
где — алгебраическая величина угловой скорости. Ускорение точки тела при вращении может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорения
причём тангенциальное ускорение получается как производная от алгебраической скорости точки
где — алгебраическая величина углового ускорения. Нормальное ускорение точки тела может быть вычислено по формулам
Выражение псевдовектора углового ускорения через тензор поворота тела