Avstånd

Avstånd eller distans är ett mått på hur långt ifrån varandra två objekt eller punkter är.

Matematikredigera wikitext

I det euklidiska rummet $\mathbb {R}$ ³ ges avståndet från punkten P(x₁,y₁,z₁) till punkten Q(x₂,y₂,z₂) av ${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$ . Allmänt ges avståndet mellan P₁(x₁₁,x₁₂,...,x_1n) och P₂(x₂₁,x₂₂,...,x_2n) i $\mathbb {R}$ ⁿ av ${\sqrt {(x_{21}-x_{11})^{2}+(x_{22}-x_{12})^{2}+...+(x_{2n}-x_{1n})^{2}}}$ .

Andra avståndsdefinitioner (normer) är emellertid tänkbara i andra än euklidiska rum och kan leda till både användbara och högst oväntade resultat.

Det euklidiska avståndet fungerar bra om antalet dimensioner är lågt, men ett stort antal dimensioner ger ofta upphov till en gles matris. I tillämpad matematik används därför ofta cosinusavståndet som mäter likheten mellan två vektorer i deras inre produktrymd:

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta

Cosinus för vinkeln mellan två vektorer visar i vilken omfattning de två vektorerna pekar samma riktning.

Måttet används ofta för att mäta likheten mellan stora datamängder i artificiell intelligens. Avståndet sträcker sig från −1 som betyder exakt motsatt, till 1 som betyder exakt samma, med 0 som anger ortogonalitet eller dekorrelation, medan värden mittemellan indikerar mellanliggande likhet eller olikhet.^[1]