多重指標是數學中一種方便的表示法,它將指標中的單個整數推廣為多個整數,它可以簡化多元微積分、偏微分方程與分佈理論中的計算,也便於操作冪級數。
定義與運算
一個
-維多重指標是一個由整數構成的向量
![{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70122d07b448b26cbd14d9542d648d5c761d3107)
設
為多重指標,定義:
![{\displaystyle \alpha \pm \beta :=(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987b79741c409ef2510ae6341296431990a16b5f)
![{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec68f50bd7a58a49f3a7d1cda9c01497bbf5ebd4)
![{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7832f93f42cce41671070ecf5a4135255fb4c93a)
應用最廣的是非負的多重指標,此時可以定義:
![{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5ec408016ade71f03fa953438c6e9560a32a05)
(假設
)
- 設
,定義![{\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aaa01250f703878886a768676d61005ffb0398a)
其中![{\displaystyle D_{i}^{j}:=\partial ^{j}/\partial x_{i}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7405584e0f62bfcc5eb1b01bcb82179530ef29)
命題。若
是非負的
維多重指標,且
,則
![{\displaystyle D^{i}x^{k}={\begin{cases}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&i\leq k\\0&i\nleq k\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d49750f1879fbabffda70707b0f3b4fefb42eb)
按定義直接操作即可證明。
應用
多元微積分
多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子:
多元冪級數:有兩個以上變元的冪級數通常寫成
![{\displaystyle s(\mathbf {x} )=\sum _{I}a_{I}\mathbf {x} ^{I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59f1e19d0ad967f2cdb655e798a0d08d98fa585)
其中
是
-維多元指標而
,以簡化冗長的表法
![{\displaystyle s(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}}a_{i_{1}\ldots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fcf7baef1a620412f35e49203cc09f5abd51eb4)
多項展開
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cc267471f8adee870fc296cdb85bf98e8e095b)
萊布尼茨公式:設
存在夠高階的導數,則
![{\displaystyle D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }D^{\nu }u\,D^{\alpha -\nu }v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71cf441b6df46d8cf093bd1797eabecbd53f8b82)
泰勒展開式:對一多元解析函數f,當
充分小時有下述展開
![{\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726308c08e3710332c62c29e8aa37283c31b4a74)
其實這不外是定義,多元指標在此提供了簡練的表示法。
對於存在夠高階導數的函數,我們也有帶餘項的泰勒展開式:
![{\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}+R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449cad739e6a67443a432bf20e7f2df0c09b1348)
其中的最後一項(餘項)有多種表法,例如柯西的積分表法:
![{\displaystyle R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {\mathbf {h} ^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}D^{\alpha }f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385ef2b50dfc3716d415bf0873357a5ab1b5a0f4)
偏微分算子
一個形式上的
變元
-階偏微分算子能以多重指標寫成
![{\displaystyle P(D)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645d5a94332d916b1ef8ff417035cd3066157ad3)
分部積分:對有界定義域
上的緊支集光滑函數,我們有
![{\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(D^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(D^{\alpha }u)v\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c8d3969ed112ea21e545a2486c898ed0b38d52)
此公式用以定義分佈與弱導數。
文獻
- Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9
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