定义
正定矩陣 对於 n × n {\displaystyle n\times n} 的埃尔米特矩阵 M {\displaystyle M} ,下列性质与「 M {\displaystyle M} 为正定矩阵」等价:
M {\displaystyle M} 的所有的特征值 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 都是正的。半双线性形式 ⟨ x , y ⟩ = x ∗ M y {\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}} 定义了一个 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 上的内积 。实际上,所有 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 上的内积都可視為由某个正定矩阵通过此种方式得到。 M {\displaystyle M} 是向量 x 1 , … , x n ∈ C k {\displaystyle {\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}} 構成的格拉姆矩阵 ,其中 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}} 。更精确地说, M = [ m i j ] {\displaystyle M=[m_{ij}]} 定义为: m i j = ⟨ x i , x j ⟩ = x i ∗ x j {\displaystyle m_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}} 。换句话说, M {\displaystyle M} 具有 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} 的形式,其中 A {\displaystyle A} 不一定是方阵,但必須是单射的。 M {\displaystyle M} 的所有顺序主子式 ,也就是顺序主子阵的行列式 都是正的(西尔维斯特准则 )。明确地说,就是考察 M {\displaystyle M} 左上角大小 1 × 1 , … , n × n {\displaystyle 1\times 1,\ldots ,n\times n} 的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言,相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子: [ 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}} 存在唯一的下三角矩阵 L {\displaystyle L} ,其主对角线上的元素全是正的,使得 M = L L ∗ {\displaystyle M=LL^{*}} 。其中 L ∗ {\displaystyle L^{*}} 是 L {\displaystyle L} 的共轭转置 。这一分解被称为科列斯基分解 。 对于实对称矩阵 ,只需将上述性质中的 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 改为 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ,並将「共轭转置」改为「转置」即可。
二次型 由以上的第二个等价条件,可以得到二次型 形式下正定矩阵的等价条件:用 K {\displaystyle \mathbb {K} } 代表 C {\displaystyle \mathbb {C} } 或 R {\displaystyle \mathbb {R} } ,设 V {\displaystyle \mathbb {V} } 是 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的一个向量空间 。一个埃尔米特型:
B : V × V → K {\displaystyle B:V\times V\rightarrow K} 是一个双线性映射 ,使得 B ( x , y ) {\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )} 总是 B ( y , x ) {\displaystyle B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )} 的共轭 。这样的一个映射 B {\displaystyle B} 是正定 的若且唯若對於 V {\displaystyle \mathbb {V} } 中所有的非零向量 x {\displaystyle \mathbf {x} } ,都有 B ( x , x ) > 0 {\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0} 。
负定、半定及不定矩阵
相关性质 若 M {\displaystyle M} 为半正定矩阵,可以記作 M ≥ 0 {\displaystyle M\geq 0} 。如果 M {\displaystyle M} 是正定矩阵,可以記作 M > 0 {\displaystyle M>0} 。这个记法来自泛函分析 ,其中的正定矩阵定义了正算子。
对于一般的埃尔米特矩阵, M {\displaystyle M} 、 N {\displaystyle N} , M ≥ N {\displaystyle M\geq N} 若且唯若 M − N ≥ 0 {\displaystyle M-N\geq 0} 。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系 。类似地,可以定义 M > N {\displaystyle M>N} 。
1. 每个正定阵都是可逆的 ,它的逆也是正定阵。如果 M ≥ N > 0 {\displaystyle M\geq N>0} 那么 N − 1 ≥ M − 1 > 0 {\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0} 。 2. 如果 M {\displaystyle M} 是正定阵, r > 0 {\displaystyle r>0} 为正实数,那么 r M {\displaystyle rM} 也是正定阵。如果 M {\displaystyle M} 、 N {\displaystyle N} 是正定阵,那么 M + N {\displaystyle M+N} 、 M N M {\displaystyle MNM} 与 N M N {\displaystyle NMN} 都是正定的。如果 M N = N M {\displaystyle MN=NM} ,那么 M N {\displaystyle MN} 仍是正定阵。
3. 如果 M = ( m i j ) > 0 {\displaystyle M=(m_{ij})>0} 那么主对角线上的元素 m i i {\displaystyle m_{ii}} 为正实数。于是有 tr ( M ) > 0 {\displaystyle {\text{tr}}(M)>0} 。此外还有 | m i j | ≤ m i i m j j ≤ m i i + m j j 2 {\displaystyle |m_{ij}|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\leq {\frac {m_{ii}+m_{jj}}{2}}} 。 4. 矩阵 M {\displaystyle M} 是正定阵若且唯若存在唯一的正定阵 B > 0 {\displaystyle B>0} 使得 B 2 = M {\displaystyle B^{2}=M} 。根据其唯一性可以记作 B = M 1 / 2 {\displaystyle B=M^{1/2}} ,称 B {\displaystyle B} 为 M {\displaystyle M} 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时,如果 M > N > 0 {\displaystyle M>N>0} 那么 M 1 / 2 > N 1 / 2 > 0 {\displaystyle M^{1/2}>N^{1/2}>0} 。 5. 如果 M , N > 0 {\displaystyle M,N>0} 那么 M ⊗ N > 0 {\displaystyle M\otimes N>0} ,其中 ⊗ {\displaystyle \otimes } 表示克羅內克積 。 6. 对矩阵 M = ( m i j ) , N = ( n i j ) {\displaystyle M=(m_{ij}),\ N=(n_{ij})} ,将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为 M ∘ N {\displaystyle M\circ N} ,即 ( M ∘ N ) i , j = m i j n i j {\displaystyle (M\circ N)_{i,j}=m_{ij}n_{ij}} ,称为 M {\displaystyle M} 与 N {\displaystyle N} 的 阿达马乘积 。如果 M , N > 0 {\displaystyle M,N>0} ,那么 M ∘ N > 0 {\displaystyle M\circ N>0} 。如果 M , N {\displaystyle M,N} 为实係数矩阵 ,则以下不等式成立: det ( M ∘ N ) ≥ ( det N ) ∏ i m i i {\displaystyle \det(M\circ N)\geq (\det N)\prod _{i}m_{ii}} 。
7. 设 M > 0 {\displaystyle M>0} , N {\displaystyle N} 为埃尔米特矩阵。如果 M N + N M ≥ 0 {\displaystyle MN+NM\geq 0} (相應地, M N + N M > 0 {\displaystyle MN+NM>0} ),那么 N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} (相應地, N > 0 {\displaystyle N>0} )。 8. 如果 M , N ≥ 0 {\displaystyle M,N\geq 0} 为实系数矩阵,则 tr ( M N ) ≥ 0 {\displaystyle {\text{tr}}(MN)\geq 0} 。 9. 如果 M > 0 {\displaystyle M>0} 为实系数矩阵,那么存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 使得 M ≥ δ I {\displaystyle M\geq \delta I} ,其中 I {\displaystyle I} 为单位矩阵 。
非埃尔米特矩阵的情况
参见
参考资料 Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback). Rajendra Bhatia. Positive definite matrices, . Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181 .
外部链接