필터 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} 부분 집합 들의 필터 기저 B ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)} x ∈ X {\displaystyle x\in X} 만약 다음 조건이 성립한다면 필터 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} x {\displaystyle x} (영어 : the filter base F {\displaystyle {\mathcal {F}}} converges to the point x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 극한 이라고 한다. 이를 B → x {\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}
N x ⊂ ↑ B {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}} 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} B ⊂ U {\displaystyle B\subset U} B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} x {\displaystyle x} 근방 필터 이며, ↑ B {\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 상폐포 다.)다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이 조건이 성립한다면 x {\displaystyle x} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 집적점 (集積點, 영어 : cluster point )이라고 한다.
x ∈ ⋂ B ∈ B cl B {\displaystyle \textstyle x\in \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} B} cl B {\displaystyle \operatorname {cl} B} B {\displaystyle B} 폐포 다.) ↑ B ⊂ ↑ B ′ {\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}'} 필터 기저 B ′ ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}'\subset {\mathcal {P}}(X)} 모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
필터 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 그물
{ ( b , B ) : b ∈ B ∈ B } → X {\displaystyle \{(b,B)\colon b\in B\in {\mathcal {B}}\}\to X} ( b , B ) ↦ b {\displaystyle (b,B)\mapsto b} 의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서 는 다음과 같다.
( b , B ) ≲ ( b ′ , B ′ ) ⟺ B ⊃ B ′ {\displaystyle (b,B)\lesssim (b',B')\iff B\supset B'} 그물과 점렬 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간 X {\displaystyle X} 그물 ( x i ) i ∈ ( I , ≲ I ) ⊂ X {\displaystyle (x_{i})_{i\in (I,\lesssim _{I})}\subset X} x ∈ X {\displaystyle x\in X} 만약 다음 조건이 성립한다면, 그물 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} x {\displaystyle x} (영어 : the net ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} converges to the point x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 극한 이라고 한다. 이를 x i → x {\displaystyle x_{i}\to x}
임의의 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} ∀ i ≳ I i 0 : x i ∈ U {\displaystyle \forall i\gtrsim _{I}i_{0}\colon x_{i}\in U} i 0 ∈ I {\displaystyle i_{0}\in I} 다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이 조건이 성립한다면 x {\displaystyle x} ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 집적점 이라고 한다.
임의의 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} i 0 ∈ I {\displaystyle i_{0}\in I} x i ∈ U {\displaystyle x_{i}\in U} i ≳ I i 0 {\displaystyle i\gtrsim _{I}i_{0}} x i ( j ) → x {\displaystyle x_{i(j)}\to x} 상향 원순서 집합 ( J , ≲ J ) {\displaystyle (J,\lesssim _{J})} 단조 공종 함수 i : J → I {\displaystyle i\colon J\to I} x i ( j ) → x {\displaystyle x_{i(j)}\to x} ∀ i 0 ∈ I ∃ j 0 ∈ J ∀ j ∈ j 0 : i ( j ) ≳ i 0 {\displaystyle \forall i_{0}\in I\exists j_{0}\in J\forall j\in j_{0}\colon i(j)\gtrsim i_{0}} 상향 원순서 집합 ( J , ≲ J ) {\displaystyle (J,\lesssim _{J})} 함수 i : J → I {\displaystyle i\colon J\to I} 모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
그물 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 필터 기저
{ { x i : i ≳ i 0 } : i 0 ∈ I } {\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\gtrsim i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}} 의 극한·집적점과 일치한다.
이에 따라, 필터 기저 와 그물 의 수렴에 대한 결과는 서로 대응하며, 서로를 함의한다.
점렬 ( x i ) i ∈ N ⊂ X {\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset X} I = N {\displaystyle I=\mathbb {N} } 부분 점렬 의 극한과 동치 다.
함수 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간 X {\displaystyle X} 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} y 0 ∈ Y {\displaystyle y_{0}\in Y} 그렇다면, x 0 {\displaystyle x_{0}} 빠진 근방 들의 집합족
D x 0 = { U ∖ { x 0 } : U ∈ N x 0 } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}=\{U\setminus \{x_{0}\}\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}} 은 X {\displaystyle X} 부분 집합 들의 필터 기저 를 이루며, 따라서 그 상 f ( D x 0 ) {\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})} Y {\displaystyle Y} 부분 집합 들의 필터 기저 를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 함수 f {\displaystyle f} x 0 {\displaystyle x_{0}} y 0 {\displaystyle y_{0}} (영어 : the map f {\displaystyle f} converges to the point y 0 {\displaystyle y_{0}} x 0 {\displaystyle x_{0}} y 0 {\displaystyle y_{0}} f {\displaystyle f} x 0 {\displaystyle x_{0}} 극한 이라고 한다. 이는
f ( x ) → y 0 ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\to y_{0}\qquad (x\to x_{0})} 라고 쓴다.
f ( D x 0 ) {\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})} y 0 {\displaystyle y_{0}} 근방 V ∋ y 0 {\displaystyle V\ni y_{0}} f ( U ∖ { x 0 } ) ⊂ V {\displaystyle f(U\setminus \{x_{0}\})\subset V} 근방 U ∋ x 0 {\displaystyle U\ni x_{0}} X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } 실수선 일 때, D x 0 {\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}}
D x 0 − = { U ∩ ( − ∞ , x 0 ) : U ∈ N x 0 } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{-}=\{U\cap (-\infty ,x_{0})\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}} D x 0 + = { U ∩ ( x 0 , ∞ ) : U ∈ N x 0 } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{+}=\{U\cap (x_{0},\infty )\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}} 을 사용하면 f {\displaystyle f} x 0 {\displaystyle x_{0}} 좌극한 (左極限, 영어 : left limit )·우극한 (右極限, 영어 : right limit )의 개념을 얻는다.
이 문서는 극한의 일반적인 정의에 관한 것입니다. 실수 수열의 극한에 대해서는 수열의 극한#실수 수열 문서를, 실함수의 극한에 대해서는 함수의 극한#일변수 함수 문서를 참고하십시오.
에 대하여,
인
가 존재한다.
