들리뉴-베일린손 코호몰로지
기하학에서 들리뉴-베일린손 코호몰로지(Deligne-Бе́йлинсон cohomology, 영어: Deligne–Beilinson cohomology) 또는 들리뉴 코호몰로지는 접속을 갖는 원군 -주다발을 나타내는, 미분 형식으로 구성된 공사슬 복합체로서 정의되는 코호몰로지 이론이다. 복소다양체와 매끄러운 다양체에 적용될 수 있다.
정의
매끄러운 다양체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 아벨 군 사슬 복합체를 정의할 수 있다.
여기서
은 임의의 자연수이다. (특히,
의 차원과는 관련이 없다.)
는
를 정의역으로, 원군 U(1)을 공역으로 하는 매끄러운 함수의 점별 곱셈군이다.
는
의
차 (실수) 미분 형식의 실수 벡터 공간이다.
는
위의 미분 형식의 외미분이다.
는 다음과 같다. 우선, 원군을
으로 여기면, 충분히 작은 열린집합
에서, 함수
의 자연 로그
는 분지 절단 없이 매끄럽게 정의될 수 있다. 이 분지에 대하여,
는 실수 값의 매끄러운 함수이다. 물론, 이는 선택된 분지에 의존하며, 분지를 바꾸면 그 값은 상수
씩 바뀌게 된다. 그러나 그 미분
은 분지에 의존하지 않는다. 따라서, 이들을 짜깁기하여 1차 미분 형식
을 정의할 수 있다.
이 공사슬 복합체를 들리뉴-베일린손 공사슬 복합체(영어: Deligne–Beilinson cochain complex)라고 하며, 그 코호몰로지를 차 들리뉴-베일린손 코호몰로지라고 한다.
위 묘사는 (실수) 매끄러운 다양체에 대한 경우이다. 이 밖에도, 복소다양체에 대한 경우가 존재한다. 이 경우, 차 미분 형식 대신
차 복소 미분 형식을 사용하며, 외미분
대신 정칙 외미분
을 사용하며, 첫째 항은 복소다양체
위의,
값의 정칙 함수들의 곱셈군이다. (이는 구조층
의 가역원층
의 단면에 해당한다.)
성질
매끄러운 다양체 위의
차 들리뉴-베일린손 코호몰로지
는
위의, 접속을 갖는 원군
-주다발을 나타낸다.
다른 코호모로지 코호몰로지와의 관계
들리뉴-베일린손 공사슬 복합체는 드람 복합체와 유사하지만, 첫째 항이 다르다. 이는 매우 중요한 역할을 한다.
마찬가지로, 표준적인 망각 함자
보다 일반적으로, 완전열
이 존재한다. 여기서, 사상 은 원군
-주다발 위의 접속이
차 미분 형식으로 정의됨을 뜻하며, 사상
은 같은 접속을 나타내는 두
차 미분 형식의 차이는 정수 주기(영어: integral period)의 미분 형식임을 뜻한다.
또한, 완전열
이 존재한다. 여기서
역사
피에르 들리뉴가 1971년에 복소다양체에 대하여 도입하였다.[1] 이후 1993년에 장뤼크 브릴린스키(프랑스어: Jean-Luc Brylinski)가 이 이론이 매끄러운 다양체에 대해서도 잘 작동한다는 것을 밝혔다.[2]:§5
같이 보기
각주
- Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1988). 〈Deligne–Beilinson cohomology〉 (PDF). 《Beilinson’s conjectures on special values of L-functions》. Perspectives in Mathematics (영어) 4. Academic Press. 43–91쪽. ISBN 0-12-581120-9.
- Bunke, Ulrich (2012). “Differential cohomology” (영어). arXiv:1208.3961. Bibcode:2012arXiv1208.3961B.
외부 링크
- “Deligne cohomology”. 《nLab》 (영어).
- “Ordinary differential cohomology”. 《nLab》 (영어).