분류 공간
위상수학의 개념
대수적 위상수학에서 분류 공간(分流空間, 영어: classifying space)는 어떤 위상군을 올로 하는 모든 주다발들을 호모토피류들로 나타낼 수 있는 올다발이다.
정의
가 위상군이라고 하자. 어떤
-주다발
이 주어졌을 때, 임의의 위상 공간
및 연속 함수
에 대하여,
-주다발
를 당겨서 정의할 수 있다.
만약 임의의 위상 공간 에 대하여,
위에 존재하는
-주다발
는 연속 함수
의 호모토피류
들과 위와 같은 사상을 통해 일대일 대응한다면,
를
의 분류 공간이라고 한다.
이 경우, 를
의 분류 공간,
를
의 전체 분류 공간(영어: total classifying space)이라고 한다. 즉,
-주다발들은
의 분류 공간을 공역으로 하는 호모토피류들과 일대일 대응한다.
성질
주어진 위상 공간의 분류 공간은 호모토피 동치 아래 유일하다.
두 위상군의 직접곱의 분류 공간은 각 위상군의 분류 공간의 곱공간(과 호모토피 동치)이다.
벡터 다발의 경우, 항상 리만 계량 (또는 에르미트 계량)을 줘 그 구조군 O(n) (실수 벡터 다발의 경우) 또는 U(n) (복소수 벡터 다발의 경우)의 주다발로 나타낼 수 있다. 따라서 벡터 다발은 그 구조군의 분류 공간으로 분류된다.
예
군 | 분류 공간 | 전체 공간 |
---|---|---|
아벨 군 | 원 | |
순환군 | 무한 차원 렌즈 공간 | 무한 차원 초구 |
무한 차원 실수 사영 공간 | 무한 차원 초구 | |
n개의 생성원의 자유군 | n개의 원들의 쐐기합 | |
유니터리 군 U(n) | 복소수 그라스만 다양체 | 그라스만 다양체의 보편 다발(tautological bundle) |
원군 U(1) | 무한 차원 복소 사영 공간 | 무한 차원 초구 |
직교군 O(n) | 실수 그라스만 다양체 | 그라스만 다양체의 보편 다발(tautological bundle) |
같이 보기
외부 링크
- “Classifying space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Classifying space”. 《nLab》 (영어).
- Baez, John (2009). “Classifying Spaces Made Easy” (영어).
- “List of Classifying Spaces and Covers” (영어). Math Overflow.