제트 군

자연수 ${\displaystyle n}$ 과 ${\displaystyle k}$ 가 주어졌다고 하자.

${\displaystyle \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)=\left\{f\in \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} }(\mathbb {R} ^{n}),\;f(0)=0\right\}}$

가 미분 동형 사상 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ 가운데, ${\displaystyle f(0)=0}$ 인 것(즉, 점을 가진 공간의 사상인 것)들의 집합이라고 하자. 이는 함수의 합성 아래 자연스럽게 군을 이룬다.

${\displaystyle n}$ 차원 ${\displaystyle k}$ 차 제트 군(${\displaystyle n}$ 次元${\displaystyle k}$ 次jet群, 영어: ${\displaystyle n}$ -dimensional ${\displaystyle k}$ th-order jet group) ${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}$ 는 ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ,0)}$ 의 원소들의, ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}}$ 에서의 ${\displaystyle k}$ 차 제트들의 집합이다.^{[1]:119, §12.6[2]:Definition 3.1}

${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)=\left\{\mathrm {j} _{0}^{k}f\colon f\in \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)\right\}}$

이는 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다. 또한, 그 위의 리 군 구조는 다음과 같다.

${\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{k}f)(\mathrm {j} _{0}^{k}g)=\mathrm {j} _{0}^{k}(f\circ g)}$

즉, 자연스러운 전사 군 준동형

${\displaystyle \mathrm {j} _{0}^{k}\colon \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)\to \operatorname {Jet} (n,k)}$

이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}$ 의 차원은 다음과 같다.

${\displaystyle \dim \operatorname {Jet} (n,k)=n\left({\binom {n+k}{k}}-1\right)}$

${\displaystyle n>0}$ 이며 ${\displaystyle k>0}$ 일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

${\displaystyle n}$ 차원 매끄러운 다양체의 ${\displaystyle k}$ 차 틀다발은 자연스럽게 ${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}$ 를 구조군으로 갖는다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리 군 ${\displaystyle G}$
• 자연수 ${\displaystyle n}$ 과 ${\displaystyle k}$

그렇다면, 제트 공간

${\displaystyle \mathrm {T} _{n}^{k}G=\{\mathrm {j} _{0}^{k}g\colon g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G\}}$

을 생각하자. 이는 점별 곱셈에 대하여 자연스럽게 다음과 같이 리 군을 이룬다.^{[2]:Definition 3.3}

${\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{k}g)(\mathrm {j} _{0}^{k}g')=\mathrm {j} _{0}^{k}(gg')}$

여기서

${\displaystyle gg'\colon x\mapsto g(x)g'(x)}$

는 두 함수의 점별 곱셈이다.

그렇다면, 제트 군 ${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}$ 는 ${\displaystyle \mathrm {T} _{n}^{k}G}$ 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

${\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{k}g)\cdot (\mathrm {j} _{0}^{k}f)=\mathrm {j} _{0}^{k}(g\circ f)\qquad (f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\;g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G)}$

이는 군 준동형

${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Aut} (\mathrm {T} _{n}^{k}G)}$

을 이룬다. 따라서, 반직접곱

${\displaystyle \mathrm {T} _{n}^{k}G\rtimes \operatorname {Jet} (n,k)^{\operatorname {op} }}$

을 정의할 수 있다.^{[2]:Definition 3.4}

${\displaystyle k=0}$ 이거나 또는 ${\displaystyle n=0}$ 인 경우, 제트 군은 자명군이다.

${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,0)=\operatorname {Jet} (0,k)=1\qquad \forall n,k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle k=1}$ 일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.

${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,1)=\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )\qquad \forall n\in \mathbb {N} }$

• “Jet group”. 《nLab》 (영어). 
• “Jet groupoid”. 《nLab》 (영어).