중력적색편이

적색편이는 무차원 변수 ${\displaystyle z}$ 로 표현되며, 이는 다음과 같이 파장의 변화 비로 정의된다.^[1]

${\displaystyle z={\frac {\lambda _{o}-\lambda _{e}}{\lambda _{e}}}}$

이때${\displaystyle \lambda _{o}\,}$ 는 관찰자에게 측정된 전자기파(광자)의 파장이고,${\displaystyle \lambda _{e}\,}$ 는 광원에서 측정된 전자기파(광자)의 파장이다.

광자의 중력적색편이는 일반상대론의 슈바르츠실트 계량을 따라 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle \lim _{r\to \infty }z(r)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{R_{e}}}}}}-1}$

이때 ${\displaystyle r_{s}}$ 는 슈바르츠실트 반경이다.

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ ,

이때 ${\displaystyle G}$ 는 뉴턴의 중력상수이고, ${\displaystyle M}$ 는 중력을 발생원의 질량, ${\displaystyle c}$ 는 광속, ${\displaystyle R_{e}}$ 는 중력 발생원의 중심으로부터 광자가 방출되는 곳까지의 거리이다. 적색편이는 슈바르츠실트 반경 안에서 방출되는 광자에 대해서는 정의되지 않는다. 그 안에서는 탈출속도가 광속보다 커지기 때문에 애초 빛이 탈출할 수 없다(블랙홀). 때문에 이 공식은 ${\displaystyle R_{e}\geq r_{s}}$ 일 때만 성립한다. 광자가 슈바르츠실트 반경과 동일한 거리에서 방출될 경우, 적색편이는 무한대로 커지고 광자는 슈바르츠실트 구를 탈출할 수 없다. 반면 광자가 중력원으로부터 무한히 먼 거리에서 방출될 경우, 적색편이는 0에 수렴한다.

${\displaystyle R_{e}}$ 가 슈바르츠실트 반경 ${\displaystyle r_{s}}$ 에 비해 충분히 크다면, 적색편이는 다음과 같은 이항전개로 근사된다.

${\displaystyle \lim _{r\to \infty }z_{\mathrm {approx} }(r)={\frac {1}{2}}{\frac {r_{s}}{R_{e}}}={\frac {GM}{c^{2}R_{e}}}}$

진동수 ${\displaystyle \nu =c/\lambda }$ (즉 광자의 에너지는 ${\displaystyle h\nu }$ )에 대한 적색편이 공식은 상기 파장 공식으로부터 다음과 같이 단순하게 연역된다.

${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\nu _{r}=\nu _{e}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{R_{e}}}}}}$

이때 ${\displaystyle \nu _{e}}$ 는 방출 지점에서의 진동수이고 ${\displaystyle \nu _{r}}$ 은 중력원의 질량중심으로부터의 거리 ${\displaystyle r>R_{e}}$ 에서의 진동수이다. 또한 에너지 보존 법칙에 따라

${\displaystyle h\nu _{\infty }=h\nu _{1}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{R_{1}}}}}=h\nu _{2}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{R_{2}}}}}}$

그러므로 거리 ${\displaystyle R_{2}}$ 에서 방출된 진동수 ${\displaystyle \nu _{2}}$ 의 광자를 거리 ${\displaystyle R_{1}}$ 의 관찰자가 측정하는 일반화된 경우(이때 거리라 함은 중력원의 질량중심으로부터가 기준점) 방정식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \nu _{1}=\nu _{2}{\sqrt {\frac {R_{1}(R_{2}-r_{s})}{R_{2}(R_{1}-r_{s})}}}}$

이때 역시 ${\displaystyle R_{1},R_{2}>r_{s}}$ 조건은 만족되어야 한다.