이상적인 진자의 운동은 다음 미분방정식 의 형태로 표현된다.
d 2 θ d t 2 + g l sin θ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}
이때 이상적인 진자란, 다음의 전제를 포함한다.
줄의 질량은 무시할 수 있을 정도로 작다. 추는 부피가 없는 하나의 질점으로 취급한다. 운동은 2차원에서만 일어난다. 저항이나 마찰력에 의해 에너지 손실이 없다. 균일한 중력장 속에서의 운동이다. 축은 움직이지 않는다. 방정식의 유도 진자에 작용하는 힘 오른쪽 그림과 같이 진자의 추에는 중력과 장력이 작용한다. 두 힘의 합력은 다음과 같이 나타난다.
− m g sin θ {\displaystyle -mg\sin \theta }
한편, 미소 거리 d x {\displaystyle dx} 는 미소 각 d θ {\displaystyle d\theta } 와 다음의 관계를 가진다.
d x = l d θ {\displaystyle dx=ld\theta }
이때 l {\displaystyle l} 은 변하지 않기 때문에, 한 번 더 미분하면 다음 관계를 얻는다.
d 2 x = l d 2 θ {\displaystyle d^{2}x=ld^{2}\theta }
따라서 뉴턴의 제 2법칙( F = m a = m d 2 x d t 2 {\displaystyle F=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}} )에 의해,
− m g sin θ = m l d 2 θ d t 2 {\displaystyle -mg\sin \theta =m{\frac {ld^{2}\theta }{dt^{2}}}}
정리하여 다음을 얻는다.
d 2 θ d t 2 + g l sin θ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}
진폭이 작은 진자의 운동 진자의 운동을 기술하는 식 d 2 θ d t 2 + g l sin θ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0} 에서, 진폭, 즉 각이 작다면 sin θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } 로 어림이 가능하다. 따라서 다음 식을 얻게 된다.
d 2 θ d t 2 + g l θ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0}
위 식은 단순 조화 운동의 방정식이다. 이 방정식의 해는 다음 꼴로 나타난다. θ ( t ) = A sin ( ω t − ϕ ) {\displaystyle \theta (t)=A\sin(\omega {}t-\phi )}
이때 각속도 ω = g / l {\displaystyle \omega ={\sqrt {g/l}}} 이고, 진폭 A {\displaystyle A} 와 위상 ϕ {\displaystyle \phi } 는 진자의 초기 위치와 속도에 의해 결정되는 값이다.
진동 주기 진폭이 작을 때, 진자의 진동 주기 T {\displaystyle T} 는 2 π / ω {\displaystyle 2\pi /\omega } 로 구해진다.
T = 2 π l g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}
즉, 진자의 주기는 중력가속도 g {\displaystyle g} 와 줄의 길이 l {\displaystyle l} 에만 의존하고, 추의 무게와는 관련이 없다.
진폭이 클 때, 주기는 진폭에 따라 점차 증가한다. 실제 주기는 여러 형태로 표현될 수 있으며 아래는 한가지 예이다.
T = 2 π L g ( 1 + 1 16 θ 0 2 + 11 3072 θ 0 4 + ⋯ ) {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}