초타원 곡선

체 ${\displaystyle K}$ 위의 초타원 곡선은 다음과 같은 데이터로 주어진다.^{[2]:287, Definition 7.4.7}

• 크룰 차원이 1인 스킴 ${\displaystyle C}$
• 매끄러운 사상 ${\displaystyle \phi \colon C\to \operatorname {Spec} K}$ . 또한, ${\displaystyle \phi }$ 가 기하학적 기약 사상(영어: geometrically irreducible morphism)이라고 하자. (즉, ${\displaystyle C\otimes _{K}{\bar {K}}}$ 은 기약 스킴이다.)
  • 이 조건에 따라서 ${\displaystyle C}$ 는 기약 스킴이자 축소 스킴이다.
• ${\displaystyle K}$ 위의, 차수가 2인 분해 가능 유한 사상 ${\displaystyle f\colon C\to \mathbb {P} _{K}^{1}}$ . (즉, 체의 확대 ${\displaystyle {\mathcal {K}}(C)/K}$ 는 2차 분해 가능 확대이다.) 여기서 ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{1}}$ 는 사영 직선이다.
  • 이 조건에 따라서 ${\displaystyle \phi }$ 는 유한형 사상이다.

특히, 만약 ${\displaystyle K}$ 가 대수적으로 닫힌 체라면, 그 위의 초타원 곡선은 다음과 같다.

• 크룰 차원이 1인 정칙 기약 스킴 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$ 위의, 차수 2의 유한 사상 ${\displaystyle f\colon C\to \mathbb {P} _{K}^{1}}$

종수 ${\displaystyle g}$ 의 초타원 곡선 ${\displaystyle (C,f)}$ 는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다. 우선, ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{1}=\operatorname {Proj} (x_{0},x_{1})}$ 에서 아핀 좌표

${\displaystyle x=x_{1}/x_{0}}$

${\displaystyle {\tilde {x}}=x_{0}/x_{1}=1/x}$

를 고르자. 그렇다면, 만약 ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ 인 경우, ${\displaystyle f}$ 는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle \phi \colon K[x]\to K[x,y]/(y^{2}-P(x))}$

${\displaystyle {\tilde {\phi }}\colon K[{\tilde {x}}]\to K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]/({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}$

${\displaystyle {\tilde {P}}({\tilde {x}})={\tilde {x}}^{2g+2}P(1/{\tilde {x}})}$

${\displaystyle P(x)=x^{2g+2}{\tilde {P}}(1/x)}$

${\displaystyle P\neq 0}$

${\displaystyle \deg P\in \{2g+1,2g+2\}}$

이 경우 ${\displaystyle C}$ 를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.

${\displaystyle y=x^{g+1}{\tilde {y}}}$

${\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {x}}^{g+1}y}$

즉, 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-P(x))}}&\supset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-P(x))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(x,y^{2}-P(x))}}&{\overset {y=x^{g+1}{\tilde {y}}}{\underset {{\tilde {x}}^{g+1}y={\tilde {y}}}{\cong }}}&\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {x}},{\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}&\subset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} K[x]&\supset &\operatorname {Spec} K[x]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[x]}{(x)}}&{\underset {x=1/{\tilde {x}}}{\overset {1/x={\tilde {x}}}{\cong }}}&\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}}]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[{\tilde {x}}]}{({\tilde {x}})}}&\subset &\operatorname {Spec} [{\tilde {x}}]\end{matrix}}}$

표수가 2인 경우, ${\displaystyle f}$ 는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle \phi \colon K[x]\to K[x,y]/(y^{2}-Q(x)y-P(x))}$

${\displaystyle {\tilde {\phi }}\colon K[{\tilde {x}}]\to K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]/({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}$

${\displaystyle {\tilde {P}}({\tilde {x}})={\tilde {x}}^{2g+2}P(1/{\tilde {x}})}$

${\displaystyle P(x)=x^{2g+2}{\tilde {P}}(1/x)}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}({\tilde {x}})={\tilde {x}}^{g+1}Q(1/{\tilde {x}})}$

${\displaystyle Q(x)=x^{g+1}{\tilde {Q}}(1/x)}$

${\displaystyle \{P,Q\}\neq \{0\}}$

${\displaystyle \max\{\deg P,2\deg Q\}\in \{2g+1,2g+2\}}$

이 경우 ${\displaystyle C}$ 를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.

${\displaystyle y=x^{g+1}{\tilde {y}}}$

${\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {x}}^{g+1}y}$

즉, 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-Q(x)y-P(x))}}&\supset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(y^{2}-Q(x)y-P(x))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[x,y]}{(x,y^{2}-Q(x)y-P(x))}}&{\overset {y=x^{g+1}{\tilde {y}}}{\underset {{\tilde {x}}^{g+1}y={\tilde {y}}}{\cong }}}&\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\setminus {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {x}},{\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}&\subset &\displaystyle {\frac {\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]}{({\tilde {y}}^{2}-{\tilde {Q}}({\tilde {x}}){\tilde {y}}-{\tilde {P}}({\tilde {x}}))}}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} K[x]&\supset &\operatorname {Spec} K[x]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[x]}{(x)}}&{\underset {x=1/{\tilde {x}}}{\overset {1/x={\tilde {x}}}{\cong }}}&\operatorname {Spec} K[{\tilde {x}}]\setminus \displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {K[{\tilde {x}}]}{({\tilde {x}})}}&\subset &\operatorname {Spec} [{\tilde {x}}]\end{matrix}}}$

표수가 2가 아닌 경우, 항상

${\displaystyle y\mapsto y+Q(x)/2}$

를 통해 ${\displaystyle Q={\tilde {Q}}=0}$ 으로 놓을 수 있다.

이 경우, 다음과 같은 변환을 하더라도 이로서 정의되는 초타원 곡선은 동형이다.

${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ : ${\displaystyle P\mapsto \lambda ^{2}P\qquad (\lambda \in K^{\times })}$

${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ : ${\displaystyle (P,Q)\mapsto (\lambda ^{2}P,\lambda Q)}$ , ${\displaystyle (P,Q)\mapsto (P+f^{2}+Qf,Q)\qquad (f\in K[x],\;\deg f\leq g+1)}$

즉, 이 경우 가중 사영 공간

${\displaystyle \mathbb {P} _{K}(1,g+1,1)=\mathbb {P} _{K}^{1}[s,t,u]}$

속에서 부분 대수다양체

${\displaystyle t^{2}=Q(u/s)s^{g+1}t+P(u/s)s^{2g+2}}$

를 이룬다. 이 경우 ${\displaystyle f}$ 는

${\displaystyle C\to \mathbb {P} _{K}^{1}=\operatorname {Proj} K[s,u]}$

${\displaystyle [s:t:u]\mapsto [s:u]}$

이다.

분지점

표주가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체인 경우, 이러한 사상 ${\displaystyle C}$ 는 짝수 개의 분지점을 갖는다. (분지점은 ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{1}}$ 의 닫힌 점 ${\displaystyle x\in \mathbb {P} _{K}^{1}}$ 가운데, 올 ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ 이 하나의 점만으로 구성된 경우이다. 분지점이 아니라면, ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ 는 항상 두 개의 점으로 구성된다.)표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 ${\displaystyle P}$ 의 사영 공간에서의 근이다. 즉,

• ${\displaystyle \deg P=2g+2}$ 라면, 분지점은 ${\displaystyle P}$ 의 ${\displaystyle 2g+2}$ 개의 근이다.
• ${\displaystyle \deg P=2g+1}$ 라면, 분지점은 ${\displaystyle P}$ 의 ${\displaystyle 2g+1}$ 개의 근 및 ${\displaystyle \infty }$ 이다.

이는 가중 사영 공간에서 대합

${\displaystyle [s,t,u]\mapsto [s,-t,u]}$

의 고정점이다.

표수가 2인 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 ${\displaystyle Q}$ 의 근이다. 이는 가중 사영 공간에서 대합

${\displaystyle [s,t,u]\mapsto [s,t+Q(s/u)u^{g+1},u]}$

의 고정점이다.

다음 조건이 주어졌다고 하자.

• 분지점의 수가 ${\displaystyle r}$ 라고 할 때, ${\displaystyle |K|>r}$ 이다.

이 경우, ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{1}\setminus \{\infty \}=\mathbb {A} _{K}^{1}=\operatorname {Spec} K[x]}$ 위에서 ${\displaystyle f}$ 는 다음과 같은 꼴이 된다.

${\displaystyle y^{2}=f(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{d}x^{d}}$

${\displaystyle f\in K[x]}$

모듈러스 공간

${\displaystyle K}$ 가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체이며 종수가 ${\displaystyle g\geq 2}$ 일 때, 초타원 곡선은 그 ${\displaystyle 2g+2}$ 개의 분지점의 집합만으로 완전하게 결정된다. 즉, 그 모듈라이 공간은

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Conf} _{0}(2g+2)}{\operatorname {Aut} (\mathbb {P} _{K}^{1})}}}$

이다. 그 차원은

${\displaystyle 2g+2-3=2g-1}$

이다.

보다 일반적으로, 표수가 2가 아닌 체에서, 초타원 곡선은 가중 사영 공간에서

${\displaystyle y^{2}=B(x,z)}$

의 꼴로 표현되며, ${\displaystyle B(x,z)}$ 는 (종수 ${\displaystyle g}$ 의 경우) ${\displaystyle 2g+2}$ 차 2변수 형식(영어: binary form)이다. 따라서 그 분류는 2변수 형식의 분류로 귀결된다.

• “Hyper-elliptic curve”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Stoll, Michael (2014). “Arithmetic of hyperelliptic curves” (PDF) (영어).