포크 공간

포크 공간은 자유입자만을 나타낼 수 있다. 즉 상호작용하는 입자는 포크 공간으로 나타낼 수 없다. 이를 하크 정리(Haag's theorem)이라고 한다.^[2] 이 사실은 독일의 루돌프 하크가 1955년에 지적하였다.^[3]

포크 공간은 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 만약 1입자 힐베르트 공간 ${\displaystyle V\cong \mathbb {C} ^{n}=\{(z^{1},\dots ,z^{n})\}}$ 이 1차원이라고 하면, 바르그만-포크 공간(영어: Bargmann–Fock space) ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(V)}$ 는 다음 성질을 만족시키는 함수 ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {C} }$ 들의 집합이다.

• ${\displaystyle f}$ 는 정칙함수다. 즉, ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{i}f=0\forall i=1,\dots ,n}$ 이다.
• 또한, 노름 ${\displaystyle \Vert f\Vert ^{2}=(1/\pi ^{n})\int _{\mathbb {C} ^{n}}|f(\mathbf {z} )|^{2}\exp(-|\mathbf {z} |^{2})\,d^{n}\mathbf {z} }$ 이 유한하다.

이 공간에 다음과 같은 노름을 주어, 힐베르트 공간으로 만들 수 있다.

${\displaystyle \langle f|g\rangle =(1/\pi ^{n})\int _{V}{\bar {f}}({\bar {\mathbf {z} }})g(\mathbf {z} )\,d^{n}\mathbf {z} }$

이 경우, 다음이 성립함을 보일 수 있다.

${\displaystyle \langle f|\partial _{i}g\rangle =\langle z^{i}f|g\rangle }$

또한,

${\displaystyle [\partial _{i},z^{j}]=\delta _{i}^{j}}$

이므로, 다음과 같이 대응시키면 이 공간이 포크 공간과 동형임을 알 수 있다.

이름	포크 공간	바르그만-포크 공간
진공	${\displaystyle |0\rangle }$	1
생성 연산자	${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$	${\displaystyle z^{i}}$
파괴 연산자	${\displaystyle a_{i}}$	${\displaystyle \partial _{i}}$
다입자 상태	${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}(a_{i}^{\dagger })^{n_{i}}/{\sqrt {n_{i}!}}\right)|0\rangle }$	${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}z_{i}^{n_{i}}/{\sqrt {n_{i}!}}}$

만약 1입자 상태 ${\displaystyle V}$ 가 무한 차원 힐베르트 공간일 경우, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathbb {C} ^{n})}$ 들의 귀납적 극한을 취하여 바르그만-포크 공간을 정의할 수 있다.

바르그만-포크 공간은 발렌티네 바르그만(독일어: Valentine Bargmann)이 1961년 정의하였다.^[4][5]

• Michael C. Reed, Barry Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics, Volume II", Academic Press 1975. 328쪽.