폰 노이만 대수

폰 노이만 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

• 추상적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 특별한 성질을 만족시키는 C* 대수로 정의될 수 있다.
• 구체적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 적절한 위상에 대하여 닫힌집합인, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 C* 대수로 정의될 수 있다.

이 두 정의는 서로 동치이다.

C* 대수 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 가 주어졌다고 하자. 이는 복소수 바나흐 대수, 특히 복소수 바나흐 공간을 이룬다. 만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\cong V^{*}}$ 가 되는 복소수 바나흐 공간 ${\displaystyle V}$ 가 존재한다면, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 를 폰 노이만 대수라고 한다. (여기서 ${\displaystyle \cong }$ 은 복소수 바나흐 공간 사이의 등거리 복소수 선형 전단사 함수의 존재이며, ${\displaystyle V^{*}}$ 는 ${\displaystyle V}$ 의 복소수 연속 쌍대 공간이다.)

사실, 이러한 복소수 바나흐 공간 ${\displaystyle V}$ 는 (등거리 복소수 선형 전단사 함수 아래) 유일하다. 이를 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 의 원쌍대 공간(영어: predual)이라고 한다.

복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 위의 유계 작용소들의 C* 대수 ${\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$ 를 생각하자. 그 부분 집합 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$ 가 덧셈과 합성과 에르미트 수반과 복소수 스칼라곱에 대하여 닫혀 있으며 항등원을 포함한다고 하자. 이제, 집합

${\displaystyle {\mathcal {A}}'=\{T\in \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})\colon \forall A\in {\mathcal {A}}\colon TA=AT\}}$

및

${\displaystyle {\mathcal {A}}''=\{T\in \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})\colon \forall A'\in {\mathcal {A}}'\colon TA'=A'T\}}$

를 정의할 수 있다.

그렇다면, 폰 노이만 정리에 따르면, ${\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$ 의 다음 세 부분 집합이 모두 같다.

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 의 강한 작용소 위상(즉, 점별 노름 수렴 위상)에서의 폐포
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 의 약한 작용소 위상(즉, 점별 약한-* 위상 수렴 위상)에서의 폐포
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}''}$

만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}''}$ 이라면, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (와 동형인 C* 대수)를 폰 노이만 대수라고 한다. 이 정의에 따라, 임의의 부분 집합 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$ 가 주어졌을 때 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수

${\displaystyle \operatorname {vN} ({\mathcal {S}})=\left(\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{S_{1}S_{2}\dotsm S_{n}\colon n\in \mathbb {N} ,S_{1},S_{2},\dotsc ,S_{n}\in {\mathcal {S}}\cup {\mathcal {S}}^{*}\}\right)''}$

가 존재함을 알 수 있다. 이를 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 로 생성되는 폰 노이만 대수(영어: von Neumann algebra generated by ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ )라고 한다.

추상적 정의에 따른 임의의 폰 노이만 대수에 대하여, 겔판트-나이마르크 정리를 통해 이를 힐베르트 공간 위의 작용소 대수로 표현할 수 있다. 반대로, 구체적 정의에 대한 폰 노이만 대수는 (힐베르트 공간 위의 작용을 무시할 때) 항상 추상적 정의에 부합한다.

폰 노이만 대수 ${\displaystyle A}$ 의 원소 ${\displaystyle a\in A}$ 에 대하여, 만약 ${\displaystyle a=b^{*}b}$ 인 ${\displaystyle b\in A}$ 가 존재한다면, ${\displaystyle a}$ 를 양원소(陽元素, 영어: positive element)라고 한다. 양원소의 집합을 ${\displaystyle A^{+}}$ 로 표기하자. 이들의 집합은 반환 ${\displaystyle [0,\infty )}$ 위의 가군을 이룬다. 마찬가지로, ${\displaystyle [0,\infty ]}$ 는 ${\displaystyle [0,\infty )}$ 위의 가군을 이룬다.

${\displaystyle [0,\infty )}$ -선형 함수

${\displaystyle \omega \colon A^{+}\to [0,\infty ]}$

를 무게라고 한다. 즉, 무게는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle \omega (\alpha a+\beta b)=\alpha \omega (a)+\beta \omega (b)\qquad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,\;a,b\in A^{+}}$

위 정의에서 ${\displaystyle 0\cdot \infty =0}$ 으로 놓는다.

만약 무게 ${\displaystyle \omega }$ 가 ${\displaystyle \omega (1)=1}$ 을 만족시킨다면, 이를 상태(狀態, 영어: state)라고 한다. 무게 ${\displaystyle \omega }$ 가

${\displaystyle \omega (aa^{*})=\omega (a^{*}a)\qquad \forall a\in A}$

를 만족시킨다면, 이를 대각합(對角合, 영어: trace)이라고 한다.

폰 노이만 대수 ${\displaystyle A}$ 가운데, 만약 ${\displaystyle \operatorname {Z} (A)=\mathbb {C} \cdot 1_{A}}$ 라면, ${\displaystyle A}$ 를 폰 노이만 인자(von Neumann因子, 영어: von Neumann factor)라고 하자. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {Z} (-)}$ 는 환으로서의 중심이다.)

모든 폰 노이만 대수는 인자들의 직접 적분(영어: direct integral)

${\displaystyle A=\int _{X}^{\oplus }A_{x}\;\mathrm {d} \mu (x)}$

으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 사실상 유일하다. 따라서, 폰 노이만 대수의 분류는 인자 대수의 분류로 귀결된다. 인자 대수의 분류는 상당 부분 알려져 있다.

임의의 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 에 대하여, 모든 유계 작용소의 대수 ${\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$ 는 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, 그 원쌍대 공간은 대각합을 부여한, 대각합류 작용소의 복소수 바나흐 공간 ${\displaystyle ({\mathfrak {S}}_{1}({\mathcal {H}},{\mathcal {H}}),\operatorname {tr} )}$ 이다.

${\displaystyle X}$ 가 시그마 유한 측도 공간이라고 하자.

복소수 값 ∞-르베그 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )}$ 은 (점별 덧셈과 곱셈 및 복소수 켤레에 대하여) 폰 노이만 대수를 이룬다. 그 원쌍대 공간은 1-르베그 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{1}(X;\mathbb {C} )}$ 이다.

${\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )}$ 는 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {C} )}$ 위에 작용하는 유계 작용소 대수로 여길 수 있다. 즉, 다음과 같은 표준적인 매장이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )\hookrightarrow \operatorname {B} (\operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {C} ),\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {C} ))}$

${\displaystyle [f]\mapsto ([g]\mapsto [fg])}$

셔먼-다케다 정리(Sherman-[武田]定理, 영어: Sherman–Takeda theorem)에 따르면, 임의의 C*-대수 ${\displaystyle A}$ 에 대하여, 그 이중 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle A^{**}}$ 는 표준적으로 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, ${\displaystyle A^{**}}$ 를 ${\displaystyle A}$ 의 포락 폰 노이만 대수(영어: enveloping von Neumann algebra)라고 한다.

폰 노이만 정리는 존 폰 노이만이 증명하였다.^[6][7] 이후 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(영어: Francis Joseph Murray, 1911~1996)가 폰 노이만 대수의 기초적 연구를 진행하였다.^[8][9][10] 폰 노이만 대수의 추상적인 정의는 사카이 쇼이치로(일본어: 境 正一郎, 1928~)가 도입하였다.^[11]

셔먼-다케다 정리는 시모어 셔먼(영어: Seymour Sherman, 1917~1977)이 1950년에 증명 없이 발표하였으며,^[12] 1954년에 다케다 지로(일본어: 武田 二郎)가 증명을 출판하였다.^[13]

이후 알랭 콘과 본 존스 등이 폰 노이만 대수의 이론에 크게 공헌하였다.

• “Von Neumann algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Von Neumann algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “W^* algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Von Neumann algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Enveloping von Neumann algebra”. 《nLab》 (영어).