홀로노미

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$
• ${\displaystyle E}$ 속의 코쥘 접속 ${\displaystyle \nabla }$
• 점 ${\displaystyle x\in M}$

그렇다면, ${\displaystyle x}$ 를 통과하는 조각마다 매끄러운 폐곡선 ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {L}}_{x}}$ 에 대하여, 코쥘 접속은 평행 운송 사상

${\displaystyle P_{\gamma }\colon E_{x}\to E_{x}}$

을 정의한다. 이 사상은 가역 선형 변환이므로, 일반 선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (E_{x})}$ 의 원소이다. 점 ${\displaystyle x\in M}$ 에서의 (대역) 홀로노미(영어: global holonomy) ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )}$ 는 다음과 같은 부분군이다.

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in {\mbox{GL}}(E_{x})\mid \gamma \in {\mathcal {L}}_{x}\}\leq \operatorname {GL} (E_{x})}$

(폐곡선들을 이으면 ${\displaystyle P_{\gamma \gamma '}=P_{\gamma }P_{\gamma '}}$ 이며, 폐곡선의 방향을 뒤집으면 ${\displaystyle P_{\bar {\gamma }}=P_{\gamma }^{-1}}$ 이 되므로, 이는 부분군을 이룬다.)

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{x}}$ 대신 상수 함수와 호모토픽한 조각마다 매끄러운 고리의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{x}^{0}\subset {\mathcal {L}}_{x}}$ 를 쓰면 국소 홀로노미(영어: local holonomy)

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in {\mbox{GL}}(E_{x})\mid \gamma \in {\mathcal {L}}_{x}^{0}\}\leq \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )}$

를 얻는다. 정의에 따라, 국소 홀로노미는 따라서 대역 홀로노미의 부분군이다.

엠브로즈-싱어 정리는 워렌 엠브로즈(Warren Ambrose)와 이사도어 싱어(Isadore M. Singer)의 정리로, 주다발안에서 접속의 홀로노미와 접속의 곡률 형식에 대한 정리다. 예를 들어 아핀 접속에서 곡률은 미소평행사변형을 따라서 생긴다.

일반적으로, 리 군 구조 G를 갖춘 P위의 주다발P → M 안에서 접속의 홀로노미를 보자. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 를 G의 리 대수라고 하자. 이 접속의 곡률 형식은 P위의 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ -값 2-형식 Ω이다. 그러면 엠브로즈-싱어 정리는 다음과 같다:^[1]

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ 의 리 대수는 형식 ${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$ 의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 의 모든 원소들로 생성된다. 여기서 q는 p와 수평곡선으로 연결될 수 있는 모든 점들이고(q ~ p), X 와 Y는 q에서 수평 접벡터들이다.

리만 다양체는 그 접다발과 레비치비타 접속을 지니므로, 이에 대한 홀로노미를 정의할 수 있다. 다른 수식어 없이 "리만 다양체의 홀로노미"라 하면 이를 지칭한다. ${\displaystyle n}$ 차원 리만 다양체의 홀로노미는 ${\displaystyle O(n)}$ 의 닫힌 리 부분군이다 (Borel & Lichnerowitz). 가향(可向) 리만 다양체의 홀로노미는 ${\displaystyle SO(n)}$ 의 부분군이다. 대체로 더 대칭적이고 규칙적일 수록 홀로노미가 작아진다.

가약 홀로노미와 드 람 분해

베르제 분류

"일반적인" 리만 다양체의 홀로노미는 프랑스의 마르셀 베르제(프랑스어: Marcel Berger)가 1955년에 분류하였고, 다음과 같다.^[2][3] 여기서 "일반적"이란 것은 단일 연결이고, 국소적으로 곱공간(product space)이 아니고, 국소적으로 대칭 공간이 아닌 다양체다.

Sp(n) ⊂ SU(2n) ⊂ U(2n) ⊂ SO(4n)이므로, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이고, 모든 칼라비-야우 다양체는 켈러 다양체이고, 모든 켈러 다양체는 가향다양체다.

준 리만 다양체의 경우도 비슷하게 분류할 수 있다.

(국소) 대칭 공간은 정의상 국소적으로 G/H의 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 G는 리 군, H는 특정한 성질을 지닌 부분군이다. 이 때, 국소적 홀로노미는 H이다.

홀로노미와 스피너

스핀 구조를 지닌 리만 다양체는 스피너 다발과 그 안에 스핀 접속 ω를 지니므로, 스피너에 대하여 홀로노미 Hol(ω)를 정의할 수 있다. 스피너 홀로노미와 스피너는 다음과 같은 관계를 지닌다. 2n차원 스핀 다양체를 생각하자.

• Hol(ω) ⊂ U(n)의 필요 충분 조건은 평행 (공변상수) 사영 순수 스피너 장 (parallel/covariantly constant projective pure spinor field)이 존재하는 것이다.
• Hol(ω) ⊂ SU(n)의 필요 충분 조건은 평행 순수 스피너 장이 존재하는 것이다. (6차원 이하의 공간에서는 모든 스피너 장은 순수 스피너 장이다.)
• 7차원에서, Hol(ω) ⊂ G₂의 필요 충분 조건은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.
• 8차원에서, Hol(ω) ⊂ Spin(7)의 필요 충분 조건은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.

끈 이론에 응용

이 사실은 끈 이론에서 용이하게 쓰인다. 초끈 이론에서는 10차원의 시공을 4차원으로 축소화하면서 하나의 초대칭을 남기려 한다. 이에 따라 6차원의 내부 공간에 평행 스피너 장이 존재하여야 하므로, 6차원 내부 공간은 SU(3)의 부분군인 홀로노미를 가지게 돼 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 마찬가지로 11차원에 존재하는 M이론을 축소화하려면 7차원의 내부공간의 홀로노미가 G₂의 부분군이어야 하고, 마찬가지로 12차원의 F-이론은 Spin(7) 다양체에 축소화할 수 있다.

• 김홍종 (2000). “리만 다양체의 홀로노미군”. 《Communications of the Korean Mathematical Society》 15 (4): 555–585. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}
• Beauville, Arnaud (1999). “Riemannian holonomy and algebraic geometry”. arXiv:math/9902110. 
• Gubser, Steven S. (2004년 3월). 〈Special holonomy in string theory and M-theory〉. 《Strings, Branes And Extra Dimensions: TASI 2001》. River Edge, New Jersey: World Scientific. 197–234쪽. arXiv:hep-th/0201114. doi:10.1142/9789812702821_0003. ISBN 978-981-238-788-2.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Bryant, Robert J. (1988년 3월). 〈A survey of Riemannian metrics with special holonomy groups]〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986》. American Mathematical Society. ISBN 978-0821801109. 2017년 8월 9일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 2월 21일에 확인함. 
• Galaev, Anton; Thomas Leistner. “Recent developments in pseudo-Riemannian holonomy theory” (PDF).  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Salamon, Simon M. (1989). 《Riemannian geometry and holonomy groups》 (PDF). Pitman Research Notes in Mathematics 201. Harlow: Longman Scientific & Technical. ISBN 0-582-01767-X. MR 1004008. Zbl 0685.53001. 2013년 11월 3일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 3월 9일에 확인함.